Poprawna odpowiedź: B

\[|BD| = \frac{9}{4} = 2{,}25\]

Sposób 1 — Proporcja boków z korespondencji wierzchołków

Zapis \(ABC \sim BDA\) określa konkretną korespondencję wierzchołków: \[A \leftrightarrow B, \quad B \leftrightarrow D, \quad C \leftrightarrow A\]

Odpowiednie boki (zawsze między tymi samymi literami):

\(AB \leftrightarrow BD\) (bok \(A\text{-}B\) do boku \(B\text{-}D\))
\(BC \leftrightarrow DA\) (bok \(B\text{-}C\) do boku \(D\text{-}A\))
\(CA \leftrightarrow AB\) (bok \(C\text{-}A\) do boku \(A\text{-}B\))

Skala podobieństwa wynika od razu z pary \(CA \leftrightarrow AB\): \[\frac{|CA|}{|AB|} = \frac{4}{3}\]

Ta sama skala musi obowiązywać dla pary \(AB \leftrightarrow BD\): \[\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{4}{3}\] \[\frac{3}{|BD|} = \frac{4}{3}\] \[|BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = \mathbf{2{,}25}\]

Sposób 2 — Kryterium kąta wspólnego (SAS podobieństwa)

Obserwacja: Punkt \(D\) leży na boku \(BC\), więc kąt przy \(B\) jest wspólny dla obu trójkątów — w obu jest to ten sam kąt \(\angle ABC\).

Wyznaczam \(\cos B\) ze wzoru cosinusów w trójkącie \(ABC\): \[\cos B = \frac{|BA|^2 + |BC|^2 - |AC|^2}{2 \cdot |BA| \cdot |BC|} = \frac{9 + 16 - 16}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}\]

Dla podobieństwa \(ABC \sim BDA\) (korespondencja \(A \leftrightarrow B\), \(B \leftrightarrow D\)) boki okalające wspólny kąt B muszą być proporcjonalne — stąd:

\[\underbrace{\frac{|BA|}{|BD|}}_{\text{boki przy } B \text{ w }BDA} = \underbrace{\frac{|BC|}{|BA|}}_{\text{boki przy } B \text{ w }ABC}\]

\[\frac{3}{|BD|} = \frac{4}{3} \implies |BD| = \frac{9}{4}\]

Weryfikacja — obliczam \(|DA|\) ze wzoru cosinusów w trójkącie \(ABD\), by sprawdzić pełną proporcję: \[|DA|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2|AB||BD|\cos B = 9 + \frac{81}{16} - 2 \cdot 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{8} = 9 + \frac{81}{16} - \frac{81}{16} = 9\] \[|DA| = 3\]

Trzy proporcje są równe: \[\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{3}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3}, \quad \frac{|BC|}{|DA|} = \frac{4}{3}, \quad \frac{|CA|}{|AB|} = \frac{4}{3} \checkmark\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15–21) — własność trójkątów podobnych: odpowiednie boki są proporcjonalne. Skala podobieństwa \(k\) jest ta sama dla każdej pary odpowiednich boków. Użyta w obu sposobach do ustawienia proporcji.

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — twierdzenie cosinusów (weryfikacja): \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Użyte do wyznaczenia \(\cos B\) w trójkącie \(ABC\) i obliczenia \(|DA|\) w trójkącie \(ABD\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A (\(2\))	Przyjęcie \(D\) jako środka \(BC\): \(\|BD\| = \frac{\|BC\|}{2} = 2\) — bez żadnego uzasadnienia podobieństwa.
C (\(2{,}5\))	Błąd arytmetyczny: \(\frac{9}{4} = 2{,}25\) mylone z \(\frac{5}{2} = 2{,}5\), lub błędna proporcja \(\frac{\|BD\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|BC\|} \Rightarrow \|BD\| = \frac{9}{4}\)… z pomyłką w dzieleniu.
D (\(3\))	Błędna korespondencja: np. utożsamienie \(\frac{\|BD\|}{\|BC\|} = \frac{\|AB\|}{\|BC\|}\), skąd \(\|BD\| = \|AB\| = 3\). Lub — pominięcie korespondencji i przyjęcie, że jeden bok \(BDA\) ma długość największego boku \(ABC\).

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kolejność wierzchołków w podobieństwie jest informacją matematyczną — \(ABC \sim BDA\) to nie to samo co \(ABC \sim ABD\). Zawsze odczytuj korespondencję znak po znaku: 1. litera do 1. litery, 2. do 2. itd.

⚠️ Uwaga: Przy ustawianiu proporcji pamiętaj, że skala jest jedna: jeśli \(\frac{|CA|}{|AB|} = \frac{4}{3}\), to każda kolejna para odpowiednich boków też musi dawać \(\frac{4}{3}\) — nie \(\frac{3}{4}\).

⚠️ Uwaga: Sprawdź, że \(D\) leży między \(B\) i \(C\): \(|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|\) ✓. Gdyby wynik był większy od \(4\), oznaczałoby to błąd w korespondencji lub proporcji.

Matura 2025 - Majowa