Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Podobieństwo trójkątów

W (\triangle ABC) kąt (\angle ABC = \angle BAC) (równoramienność; wierzchołek (C)). W (\triangle BDA) kąt (\angle DBA = \angle ABC) (ten sam kąt). Aby trójkąty były podobne (\triangle ABC \sim \triangle BDA), kolejność wierzchołków daje odpowiadające sobie boki. W (\triangle ABC): (\angle BAC = \angle ABC = \beta), (\angle BCA = \gamma). Trójkąt (BDA) ma: (\angle DBA = \beta), wspólny; drugi kąt to (\angle BAD = \beta) (odpowiada (\angle ABC) w (ABC)). Stosunek boków: [\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BD}{AB}\Rightarrow \dfrac{3}{4} = \dfrac{BD}{3}\Rightarrow BD = \dfrac{9}{4} = 2{,}25.]

Sposób 2 — Z proporcji odpowiadających boków

Podobieństwo (\triangle ABC \sim \triangle BDA) oznacza: [\dfrac{|AB|}{|BD|} = \dfrac{|BC|}{|BA|} = \dfrac{|CA|}{|AD|}.] [\dfrac{3}{|BD|} = \dfrac{4}{3}\Rightarrow |BD| = \dfrac{9}{4}.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (2) — połowa (BC), nie wynika z podobieństwa.
C. (2{,}5) — odpowiadałoby proporcji (\tfrac{BD}{3}=\tfrac{5}{6}), niepoprawne przypisanie boków.
D. (3) — długość (AB), błędne utożsamienie.

Trik: w zadaniach z podobieństwem kluczowa jest kolejność wierzchołków — (\triangle ABC \sim \triangle BDA) ustala parowania.

Matura 2025 - Majowa