Poprawna odpowiedź: D

Rysunek D poprawnie pokazuje kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy — jest to kąt zawarty między tą przekątną a jej rzutem na podstawę, którym jest najdłuższa przekątna sześciokąta.

Sposób 1 — Analiza geometryczna: definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny

Co to jest kąt nachylenia prostej do płaszczyzny?

Kąt nachylenia prostej \(\ell\) do płaszczyzny \(\pi\) to kąt między prostą \(\ell\) a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę \(\pi\).

Krok 1 — Identyfikacja najdłuższej przekątnej graniastosłupa sześciokątnego.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie z bokiem \(a\) i wysokości \(h\):

Najdłuższa przekątna bryłowa łączy dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i naprzeciwko siebie (przez środek sześciokąta).
Najdłuższa przekątna podstawy (sześciokąta foremnego) ma długość \(2a\) — jest to przekątna przez środek figury łącząca dwa przeciwległe wierzchołki.

Krok 2 — Wyznaczenie rzutu przekątnej na podstawę.

Rzut najdłuższej przekątnej bryłowej \(AG'\) (gdzie \(A\) leży w dolnej podstawie, \(G'\) — w górnej, po przeciwnej stronie) na płaszczyznę dolnej podstawy to odcinek \(AG\) — najdłuższa przekątna sześciokąta o długości \(2a\).

Trójkąt \(AGG'\) jest prostokątny:

\[ |AG'|^2 = |AG|^2 + |GG'|^2 = (2a)^2 + h^2 \]

Krok 3 — Kąt nachylenia to kąt przy wierzchołku \(A\) w tym trójkącie:

\[ \tan\alpha = \frac{h}{2a} \]

gdzie \(\alpha\) to kąt między przekątną \(AG'\) a jej rzutem \(AG\).

To jest właśnie rysunek D — kąt zawarty między najdłuższą przekątną bryłową a najdłuższą przekątną podstawy (jej rzutem).

Sposób 2 — Obliczenie wartości kąta (weryfikacja z danymi)

Pole podstawy (sześciokąt foremny o boku \(a\)):

\[ P = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 15\sqrt{3} \]

\[ a^2 = \frac{15\sqrt{3} \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{30}{3} = 10 \implies a = \sqrt{10} \]

Długość najdłuższej przekątnej podstawy:

\[ d = 2a = 2\sqrt{10} \]

Przy wysokości \(h = 6\):

\[ \tan\alpha = \frac{h}{2a} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

\[ \alpha = \arctan\!\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \approx 43{,}5° \]

Kąt ten tworzony jest przez najdłuższą przekątną i jej rzut (najdłuższą przekątną podstawy) — co potwierdza rysunek D.

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — własności graniastosłupa: \[V = P_p \cdot h, \quad P_b = O_b \cdot h\] Nie użyto wzoru objętości, ale korzystamy z faktu, że wysokość graniastosłupa jest prostopadła do podstawy — to gwarantuje, że rzut przekątnej na podstawę to odcinek w płaszczyźnie sześciokąta.

Dział 10 (Planimetria — wielokąty foremne, s. 15) — pole sześciokąta foremnego o boku \(a\): \[P = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \(a = \sqrt{10}\).

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — definicja tangensa w trójkącie prostokątnym: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przyległa}} = \frac{h}{2a}\] Użyliśmy do obliczenia wartości kąta nachylenia.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Co pokazuje rysunek	Błąd
A	Kąt między przekątną a krótszą przekątną podstawy	Rzut najdłuższej przekątnej bryłowej na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta (\(2a\)), a nie krótsza (\(a\sqrt{3}\)). Użycie krótszej przekątnej daje kąt niezwiązany z definicją nachylenia.
B	Kąt między krawędzią boczną a przekątną ściany bocznej	To zupełnie inny kąt — dotyczy ściany bocznej, a nie całej bryły. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, więc ten kąt nie opisuje nachylenia przekątnej do podstawy.
C	Kąt między najdłuższą przekątną a krawędzią podstawy	Krawędź podstawy ≠ rzut przekątnej. Rzut przekątnej to odcinek wewnątrz sześciokąta (jego przekątna), a nie krawędź zewnętrzna. Ten kąt nie odpowiada definicji nachylenia do płaszczyzny.
D ✓	Kąt między najdłuższą przekątną a jej rzutem (najdłuższa przekątna podstawy)	To jest poprawna definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt z rzutem prostokątnym tej prostej, nie z dowolnym odcinkiem w płaszczyźnie. Uczniowie często mylnie mierzą kąt z krawędzią lub krótszą przekątną.

⚠️ Uwaga: Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość \(2a\) (równa średnicy okręgu opisanego), a nie \(a\sqrt{3}\) (to jest krótka przekątna). Mylenie tych dwóch wartości prowadzi do wyboru rysunku A.

⚠️ Uwaga: Rzut przekątnej bryłowej na podstawę leży wewnątrz sześciokąta — to jego wewnętrzna przekątna, a nie bok ani krawędź ściany bocznej. Rysunek D pokazuje to poprawnie.

Matura 2024 - Majowa