Poprawna odpowiedź: B — \(10\pi\)

Sposób 1 — Kąt wpisany i łuk, korzystając ze średnicy

Ustalamy konfigurację. Z opisu rysunku wiemy, że \(S\) leży na odcinku \(BD\), więc \(BD\) jest średnicą okręgu. Punkty \(A\) i \(C\) leżą po przeciwnych półokręgach wyznaczonych przez tę średnicę.

Krok 1: Wyznaczamy łuk \(AB\) na podstawie kąta \(\angle BDA = 40°\).

Kąt wpisany \(\angle BDA = 40°\) jest oparty na łuku \(AB\) (nie zawierającym \(D\)). Z twierdzenia o kącie wpisanym:

\[\text{łuk } AB = 2 \cdot \angle BDA = 2 \cdot 40° = 80°\]

Krok 2: Wyznaczamy łuk \(DC\) na podstawie kąta \(\angle DBC = 65°\).

Kąt wpisany \(\angle DBC = 65°\) jest oparty na łuku \(DC\) (nie zawierającym \(B\)). Stąd:

\[\text{łuk } DC = 2 \cdot \angle DBC = 2 \cdot 65° = 130°\]

Krok 3: Wyznaczamy łuk \(BC\).

Ponieważ \(BD\) jest średnicą, każdy z dwóch półokręgów ma miarę \(180°\). Punkty \(B\), \(C\), \(D\) leżą tak, że łuk \(BC\) i łuk \(CD\) (po tej samej stronie co \(C\)) sumują się do półokręgu:

\[\text{łuk } BC + \text{łuk } CD = 180°\]

\[\text{łuk } BC = 180° - 130° = 50°\]

Krok 4: Obliczamy długość łuku \(BC\).

\[L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r = \frac{50°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 36 = \frac{50}{360} \cdot 72\pi = \frac{3600\pi}{360} = \boxed{10\pi}\]

Sposób 2 — Przez kąt wpisany \(\angle CDB\) i weryfikację

Cel: Wyznaczymy wprost kąt \(\angle CDB\), który jest oparty na łuku \(BC\).

Z Kroku 3 (Sposób 1) wiemy, że łuk \(BC = 50°\). Zatem:

\[\angle CDB = \frac{\text{łuk } BC}{2} = \frac{50°}{2} = 25°\]

Sprawdzamy przez sumę kątów. Ponieważ \(BD\) jest średnicą, kąt wpisany \(\angle BCD = 90°\) (kąt oparty na średnicy to kąt prosty). W trójkącie \(BCD\):

\[\angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180°\] \[65° + 90° + \angle CDB = 180°\] \[\angle CDB = 25°\]

Zgadza się. Długość łuku \(BC\) (środkowy kąt \(= 2 \cdot 25° = 50°\)):

\[L = \frac{50°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 36 = 10\pi \checkmark\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 19) — kąt wpisany i łuk: \[\text{kąt wpisany} = \frac{1}{2} \cdot \text{kąt środkowy (łuk)}\] Zastosowanie: wyznaczenie łuku \(AB\) z kąta \(40°\) oraz łuku \(DC\) z kąta \(65°\).

Dział 10 (Planimetria, s. 18–19) — długość łuku: \[L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r\] Zastosowanie: obliczenie długości łuku \(BC\) dla kąta środkowego \(50°\) i promienia \(36\).

Dział 10 (Planimetria, s. 19) — kąt wpisany w półokrąg: \[\text{kąt wpisany oparty na średnicy} = 90°\] Zastosowanie: \(\angle BCD = 90°\) w Sposobie 2 (weryfikacja przez trójkąt \(BCD\)).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A \((8\pi)\)	Uczeń liczy łuk \(AB = 80°\) i od razu stosuje wzór na długość dla kąta \(80°\): \(\frac{80}{360} \cdot 72\pi = 16\pi\), a potem dzieli przez 2 — brak sensu, ale prowadzi do \(8\pi\)
C \((13\pi)\)	Uczeń myli łuk \(DC = 130°\) z łukiem \(BC\) i oblicza \(\frac{130}{360} \cdot 72\pi \approx 26\pi\), lub bierze \(\frac{65}{360} \cdot 72\pi = 13\pi\) — używa kąta \(65°\) zamiast arc \(BC = 50°\)
D \((20\pi)\)	Uczeń dodaje kąty \(40° + 65° = 105°\) i liczy \(\frac{105}{360} \cdot 72\pi \approx 21\pi\), lub bierze pół okręgu (180°) i oblicza \(\frac{180}{360} \cdot 72\pi - \text{coś}\) z błędem

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kąt wpisany to połowa łuku — pilnuj kierunku: z kąta wyciągamy łuk (mnożymy przez 2), z łuku wyciągamy kąt (dzielimy przez 2). Łatwo pomylić kierunek.

⚠️ Uwaga: Kluczowe jest rozpoznanie, że \(S\) leży na \(BD\), czyli \(BD\) jest średnicą — to daje \(\angle BCD = 90°\) i pozwala skorzystać z tego, że oba półokręgi mają miarę dokładnie \(180°\).

⚠️ Uwaga: Każdy kąt wpisany jest oparty na łuku po przeciwnej stronie niż wierzchołek kąta — pilnuj, żeby nie wziąć łuku zawierającego wierzchołek.

Matura 2025 - Sierpniowa