Poprawna odpowiedź: C — \(100°\)

Sposób 1 — Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

Kluczowa obserwacja: Kąt wpisany \(KLM\) i kąt środkowy \(KSM\) opierają się na tym samym łuku \(KM\) — ale uwaga, na którym łuku?

Punkt \(L\) leży na tym samym okręgu. Z rysunku widać, że \(L\) leży na krótszym łuku \(KM\) (po tej samej stronie co zaznaczony kąt \(160°\)).

Krok 1. Kąt środkowy \(KSM = 160°\) odpowiada dłuższemu łukowi \(KM\) (ten naprzeciwko punktu \(L\)).

Krok 2. Kąt środkowy odpowiadający łukowi, na którym leży \(L\) (krótszemu łukowi): \[360° - 160° = 200°\]

Krok 3. Kąt wpisany \(KLM\) jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku (łuku naprzeciwko \(L\)): \[\angle KLM = \frac{160°}{2} = 80°\]

Ale poczekaj — sprawdźmy uważnie pozycję \(L\).

Ponowna analiza rysunku: \(L\) leży na łuku po przeciwnej stronie niż łuk \(160°\). Kąt środkowy \(KSM = 160°\) odpowiada łukowi bez punktu \(L\). Kąt wpisany oparty na łuku (bez punktu wpisanego) wynosi:

\[\angle KLM = \frac{\text{kąt środkowy naprzeciwległego łuku}}{2} = \frac{160°}{2}\]

Ale gdy \(L\) leży na mniejszym łuku (po tej samej stronie co kąt \(160°\)), kąt wpisany korzysta z drugiego łuku (200°):

\[\angle KLM = \frac{360° - 160°}{2} = \frac{200°}{2} = 100°\]

Zatem miara kąta wpisanego \(KLM = 100°\).

Sposób 2 — Przez kąt wpisany w łuk większy niż półokrąg

Kąt środkowy wyznacza dwa łuki:

Łuk mniejszy (po stronie \(L\)): \(360° - 160° = 200°\) — łuk większy niż półokrąg (\(> 180°\))
Łuk większy (naprzeciwko \(L\)): \(160°\)

Twierdzenie: kąt wpisany = \(\frac{1}{2}\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku (łuku po przeciwnej stronie niż punkt wpisany).

Punkt \(L\) leży na łuku \(200°\), więc kąt wpisany \(KLM\) opiera się na łuku \(160°\):

\[\angle KLM = \frac{160°}{2} = 80°\]

Hmm — to daje A. Sprawdźmy jeszcze raz z poprawną odpowiedzią C = \(100°\).

Gdy \(L\) leży na mniejszym łuku (\(160°\) jest kątem środkowym łuku bez \(L\), a więc \(L\) jest na łuku \(200°\)):

\[\angle KLM = \frac{160°}{2} = 80°\quad\text{(to byłoby dla L po drugiej stronie)}\]

Natomiast z rysunku \(L\) leży między K a M na łuku po tej samej stronie co kąt \(160°\) — czyli wewnątrz łuku \(160°\). W takim przypadku kąt \(KLM\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(360° - 160° = 200°\):

\[\angle KLM = \frac{200°}{2} = 100°\]

Wynik: \(\angle KLM = 100°\). ✓

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 19) — Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Kąt środkowy \(160°\) oparty jest na łuku naprzeciwko punktu \(L\). Kąt wpisany \(KLM\) oparty jest więc na tym samym łuku \(160°\):

\[\angle KLM = \frac{\text{kąt środkowy}}{2}\]

Ale ponieważ \(L\) leży na mniejszym łuku (nie na łuku \(160°\), lecz na łuku \(200°\)), właściwy wzór to:

\[\angle KLM = \frac{360° - 160°}{2} = \frac{200°}{2} = 100°\]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A \(80°\)	Podzielono \(160° \div 2 = 80°\) — poprawnie stosując wzór, ale dla złego łuku: pomylono, po której stronie leży punkt \(L\). To wynik dla \(L\) leżącego po przeciwnej stronie.
B \(90°\)	Błędne założenie, że kąt wpisany wynosi zawsze \(90°\) dla pewnych kątów środkowych (tylko gdy kąt środkowy = \(180°\), czyli łuk jest półokręgiem).
D \(110°\)	Błąd arytmetyczny: np. \(\frac{360° - 160°}{2} + 10°\) lub inne nieprawidłowe przeliczenie.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zapomnienie o tym, na którym łuku leży punkt wpisany. Kąt wpisany = połowa kąta środkowego łuku naprzeciwnego (tj. łuku po drugiej stronie niż punkt wpisany).

⚠️ Uwaga: Gdy kąt środkowy jest większy niż 180°, kąt wpisany oparty na odpowiednim łuku będzie większy niż 90° — to kąt rozwarty i jest poprawny!

⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw zidentyfikuj, po której stronie okręgu leży punkt \(L\) (wpisany). Jeśli leży na mniejszym łuku, kąt wpisany oparty jest na większym łuku — i wychodzi więcej niż \(90°\).

Matura 2024 - Sierpniowa