Poprawna odpowiedź: A oraz F

Sposób 1 — Wyznaczenie zbioru wartości każdej funkcji

Kluczowa obserwacja: Zbiór wartości \((-\infty, 2\rangle\) to przedział nieograniczony z dołu, domknięty z góry w punkcie \(2\). Oznacza to, że szukamy funkcji, które:

osiągają maksimum równe \(2\) (żeby przedział był domknięty od góry),
nie są ograniczone z dołu (żeby sięgały do \(-\infty\)).

Analizujemy każdą funkcję:

Funkcja A: \(f(x) = -(x-1)^2 + 2\)

To parabola skierowana w dół (\(a = -1 < 0\)), w postaci kanonicznej.

Wierzchołek: \(W = (1, 2)\) → maksymalna wartość funkcji to \(2\).

\[f(x) \leq 2 \text{ dla każdego } x \in \mathbb{R}, \quad \text{i } f(1) = 2\]

Ponieważ parabola otwiera się w dół i jest określona dla każdego \(x \in \mathbb{R}\), wartości maleją do \(-\infty\).

Zbiór wartości funkcji A: \((-\infty, 2\rangle\) ✓

Funkcja B: \(f(x) = (x+2)^2 - 3\)

Parabola skierowana w górę (\(a = 1 > 0\)), wierzchołek \(W = (-2, -3)\).

\[f(x) \geq -3 \text{ dla każdego } x \in \mathbb{R}\]

Zbiór wartości: \(\langle -3, +\infty)\) — nie pasuje.

Funkcja C: \(f(x) = 2x - 1\)

Funkcja liniowa (niestała) — zbiór wartości to cały \(\mathbb{R}\). Nie pasuje.

Funkcja D: \(f(x) = x^2 + 1\)

Parabola w górę, minimum \(1\). Zbiór wartości: \(\langle 1, +\infty)\) — nie pasuje.

Funkcja E: \(f(x) = -2x + 5\)

Funkcja liniowa — zbiór wartości to \(\mathbb{R}\). Nie pasuje.

Funkcja F: \(f(x) = 2 - (x+3)^2\)

Parabola skierowana w dół, wierzchołek \(W = (-3, 2)\).

\[f(x) = -(x+3)^2 + 2 \leq 2 \text{ dla każdego } x \in \mathbb{R}, \quad \text{i } f(-3) = 2\]

Zbiór wartości funkcji F: \((-\infty, 2\rangle\) ✓

Sposób 2 — Analiza przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej

Zbiór wartości \((-\infty, 2\rangle\) wymaga spełnienia dwóch warunków jednocześnie:

Warunek	Co oznacza
Przedział domknięty od góry (\(\langle\))	Funkcja osiąga maksimum \(= 2\)
Nieskończony od dołu (\(-\infty\))	Funkcja nie jest ograniczona z dołu

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = a(x-p)^2 + q\):

\[ZW = \begin{cases} \langle q, +\infty) & \text{gdy } a > 0 \\ (-\infty, q\rangle & \text{gdy } a < 0 \end{cases}\]

Zatem szukamy: \(a < 0\) oraz \(q = 2\).

Funkcja A: \(a = -1 < 0\), \(q = 2\) ✓
Funkcja F: \(a = -1 < 0\), \(q = 2\) ✓
Pozostałe: albo \(a > 0\) (parabola w górę), albo \(q \neq 2\), albo funkcja liniowa ✗

Weryfikacja dla A: \(f(1) = -(1-1)^2 + 2 = 2\) ✓ — maksimum osiągnięte.

Weryfikacja dla F: \(f(-3) = 2 - (-3+3)^2 = 2\) ✓ — maksimum osiągnięte.

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–9) — postać kanoniczna i zbiór wartości:

\[f(x) = a(x-p)^2 + q\]

Wierzchołek paraboli: \(W = (p, q)\), gdzie \(q\) to maksimum (gdy \(a < 0\)) lub minimum (gdy \(a > 0\))

W tym zadaniu kluczowy jest wzór na \(q = -\frac{\Delta}{4a}\) — to właśnie \(q\) decyduje, gdzie „urywa się" zbiór wartości.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Funkcja	Typ	Błąd / Powód odrzucenia
B	\((x+2)^2 - 3\)	Parabola w górę (\(a>0\)), ZW = \(\langle-3,+\infty)\) — uczeń może pomylić kierunek otwarcia
C	\(2x-1\)	Liniowa — ZW = \(\mathbb{R}\); nie ma ani maksimum, ani minimum
D	\(x^2+1\)	Parabola w górę, minimum = 1, ZW = \(\langle1,+\infty)\)
E	\(-2x+5\)	Liniowa — ZW = \(\mathbb{R}\); liniowe nigdy nie mają jednostronnie ograniczonego ZW

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Mylenie kierunku otwarcia paraboli — jeśli \(a < 0\), to parabola otwiera się w dół i ma maksimum, co daje ZW = \((-\infty, q\rangle\). Jeśli \(a > 0\) — w górę, minimum, ZW = \(\langle q, +\infty)\).

⚠️ Uwaga: Przedział \((-\infty, 2\rangle\) jest domknięty (nawias ostry \(\rangle\)) — funkcja musi osiągać wartość \(2\)! Gdyby chodziło o \((-\infty, 2)\) (otwarty), to np. \(f(x) = 2 - e^x\) też by pasowała. Sprawdź, czy maksimum jest faktycznie osiągane.

⚠️ Uwaga: Funkcje liniowe (niestałe) zawsze mają ZW = \(\mathbb{R}\) — nigdy nie będą odpowiedzią w tym typie zadania.

Matura 2023 - Sierpniowa