Poprawna odpowiedź: C oraz F

Sposób 1 — wzór na pole \(P = \frac{1}{2} \cdot \text{bok}_1 \cdot \text{bok}_2 \cdot \sin(\text{kąt między nimi})\)

Klucz do zadania: boki trójkąta są naprzeciwko kątów, więc każdy kąt jest zawarty między dwoma pozostałymi bokami.

Kąt	Leży między bokami	Wzór na pole
\(30°\)	\(b\) i \(c\)	\(P = \frac{1}{2} b c \sin 30°\)
\(45°\)	\(a\) i \(c\)	\(P = \frac{1}{2} a c \sin 45°\)
\(105°\)	\(a\) i \(b\)	\(P = \frac{1}{2} a b \sin 105°\)

Obliczamy każdy wariant:

Kąt 30°: \[P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \frac{1}{2} = \frac{bc}{4}\]

Kąt 45°: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin 45° = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{ac\sqrt{2}}{4}\]

Kąt 105°: \[\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\] \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{ab(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{8}\]

Mamy więc trzy poprawne wzory na pole. Teraz sprawdzamy, które z opcji A–F pasują.

Sposób 2 — wyrażenie pola wyłącznie przez bok \(a\)

Korzystamy z twierdzenia sinusów, żeby wyrazić \(b\) i \(c\) przez \(a\):

\[\frac{a}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°} = \frac{c}{\sin 105°}\]

\[b = a \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 30°} = a \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = a\sqrt{2}\]

\[c = a \cdot \frac{\sin 105°}{\sin 30°} = a \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}\]

Podstawiamy do wzoru \(P = \frac{bc}{4}\):

\[P = \frac{a\sqrt{2} \cdot \dfrac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{8}\]

Rozwijamy iloczyn: \[\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2}) = \sqrt{12} + \sqrt{4} = 2\sqrt{3} + 2\]

\[\boxed{P = \frac{a^2 \cdot 2(\sqrt{3}+1)}{8} = \frac{a^2(\sqrt{3}+1)}{4}}\]

To odpowiedź F — pole wyrażone wyłącznie przez \(a\).

Weryfikacja przez wzór z kątem 45°: podstawiamy \(c = \frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}\): \[P = \frac{ac\sqrt{2}}{4} = \frac{a \cdot \frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{a^2({\sqrt{12}+2})}{8} = \frac{a^2(2\sqrt{3}+2)}{8} = \frac{a^2(\sqrt{3}+1)}{4} \checkmark\]

To odpowiedź C — wzór \(\frac{ac\sqrt{2}}{4}\), który daje ten sam wynik.

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — wartości funkcji: \[\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}\] Użyte do obliczenia \(\sin 105°\) oraz wartości w wzorach na pole.

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) — wzór na sinus sumy kątów: \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\] Użyty do wyznaczenia \(\sin 105° = \sin(60°+45°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15–16) — pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\] Wzór bazowy dla wszystkich trzech wariantów.

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — twierdzenie sinusów: \[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\] Użyte w Sposobie 2 do wyrażenia \(b\) i \(c\) przez \(a\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	Wzięto \(\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) zamiast \(\frac{1}{2}\) (mylenie z \(\cos 30°\)) → wynik \(\frac{bc\sqrt{3}}{4}\) zamiast \(\frac{bc}{4}\)
B	Policzono \(P = \frac{1}{2}ab\sin 45°\) zamiast \(\sin 105°\) (wzięto zły kąt między \(a\) i \(b\))
D	Obliczono \(\sin 105°\) jako \(\sin(180°-105°) = \sin 75° \neq \sin 105°\)... ale \(\sin 75° = \sin 105°\), więc błąd jest gdzie indziej — np. opuszczono czynnik \(\frac{1}{2}\) w wzorze
E	Wyrażono pole przez \(b^2\) lub \(c^2\) zamiast \(a^2\), nie stosując poprawnie tw. sinusów

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kąt zawarty między bokami \(a\) i \(b\) to kąt naprzeciwko \(c\), czyli \(105°\) — nie \(30°\) ani \(45°\)! Uczniowie często biorą niewłaściwy kąt.

⚠️ Uwaga: \(\sin 105° \neq \sin 75°\) w kontekście wartości — owszem, \(\sin 105° = \sin 75°\) (bo \(\sin(180°-x)=\sin x\)), ale \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), nie jest to wartość "ładna" i łatwo ją pomylić z \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

⚠️ Uwaga: Wyrażając pole przez jeden bok, pamiętaj żeby skorzystać z tw. sinusów — nie zakładaj "na oko", że \(b = 2a\) lub inne proste proporcje.

Matura 2023 - Czerwcowa