Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Twierdzenie o stycznej i siecznej (potęga punktu)

Z twierdzenia o stycznej i siecznej: jeśli z punktu (D) zewnętrznego poprowadzono styczną (DA) i sieczną przechodzącą przez (C) i (B), to: [|DA|^{2} = |DC|\cdot|DB|.] Mamy (|DC| = 3) oraz (|DB| = |DC| + |CB| = 3 + 4 = 7). Zatem (|DA|^{2} = 3\cdot 7 = 21), skąd (|DA| = \sqrt{21}).

Trójkąt (ABD): ponieważ (AB) jest średnicą, a (k) styczną w (A), więc (k \perp AB), czyli (\angle DAB = 90°). Niech (H) to rzut (A) na (l). W trójkącie prostokątnym (DAB) wysokość (AH) opuszczona z wierzchołka kąta prostego spełnia: [AH\cdot DB = DA\cdot AB.] Najpierw (|AB|^{2} = |DB|^{2} - |DA|^{2} = 49 - 21 = 28), (|AB| = 2\sqrt{7}). [AH = \dfrac{DA\cdot AB}{DB} = \dfrac{\sqrt{21}\cdot 2\sqrt{7}}{7} = \dfrac{2\sqrt{147}}{7} = \dfrac{2\cdot 7\sqrt{3}}{7} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}.]

Sposób 2 — Pole trójkąta

Pole trójkąta (ABD) liczone dwoma sposobami: (P = \dfrac{1}{2}\cdot|DA|\cdot|AB|) (kąt prosty w (A)) = (\dfrac{1}{2}\sqrt{21}\cdot 2\sqrt{7} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}). Z drugiej strony: (P = \dfrac{1}{2}\cdot|DB|\cdot h), gdzie (h) to odległość (A) od (l). (7\sqrt{3} = \dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot h \Rightarrow h = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\dfrac{7}{2}) — to odległość przybliżona lub pomyłka w rachunkach.
B. (5) — wartość połówki hipotenuzy lub błąd obliczeń.
D. (\sqrt{3}+2) — wartość nie wynika z twierdzeń, błędne złożenie.

Trik: przy stycznej i siecznej z jednego punktu: (t^{2} = s_{1}\cdot s_{2}).

Matura 2023 - Czerwcowa