Poprawna odpowiedź: CA

29.1 Mediana = 5,85 zł (C) 29.2 Średnia = 5,80 zł (A)

Sposób 1 — bezpośrednie wypisanie danych w kolejności

Krok 1: Wypisz wszystkie 16 wartości rosnąco

Mamy 16 sklepów. Zapisuję każdą cenę tyle razy, ile jest sklepów z tą ceną:

Pozycja	Cena
1.	5,05 zł
2.	5,05 zł
3.	5,60 zł
4.	5,60 zł
5.	5,60 zł
6.	5,60 zł
7.	5,70 zł
8.	5,70 zł
9.	6,00 zł
10.	6,00 zł
11.	6,00 zł
12.	6,00 zł
13.	6,00 zł
14.	6,30 zł
15.	6,30 zł
16.	6,30 zł

Krok 2: Wyznacz medianę

Dla \(n = 16\) (parzyste) mediana to średnia wyrazów na pozycji 8. i 9.

\[Me = \frac{a_8 + a_9}{2} = \frac{5{,}70 + 6{,}00}{2} = \frac{11{,}70}{2} = \mathbf{5{,}85 \text{ zł}}\]

Krok 3: Wyznacz średnią arytmetyczną

Zamiast dodawać 16 liczb osobno, korzystam z częstości (o wiele szybciej!):

\[\bar{x} = \frac{2 \cdot 5{,}05 + 4 \cdot 5{,}60 + 2 \cdot 5{,}70 + 5 \cdot 6{,}00 + 3 \cdot 6{,}30}{16}\]

Liczę licznik krok po kroku: \[2 \cdot 5{,}05 = 10{,}10\] \[4 \cdot 5{,}60 = 22{,}40\] \[2 \cdot 5{,}70 = 11{,}40\] \[5 \cdot 6{,}00 = 30{,}00\] \[3 \cdot 6{,}30 = 18{,}90\]

Suma: \(10{,}10 + 22{,}40 + 11{,}40 + 30{,}00 + 18{,}90 = 92{,}80\)

\[\bar{x} = \frac{92{,}80}{16} = \mathbf{5{,}80 \text{ zł}}\]

Sposób 2 — mediana przez skumulowane częstości, średnia przez odchylenia od punktu bazowego

Mediana — metoda skumulowanych częstości:

Szukam, gdzie "przecina się" środek zbioru. Liczę, ile sklepów ma cenę nie wyższą niż kolejne wartości:

Cena	Liczba sklepów	Skumulowane
5,05	2	2
5,60	4	6
5,70	2	8
6,00	5	13
6,30	3	16

Potrzebuję pozycji 8. i 9.:

Pozycja 8: mieści się w grupie "do 5,70 zł" (skumulowane = 8) → 5,70 zł
Pozycja 9: mieści się w grupie "do 6,00 zł" (skumulowane = 13) → 6,00 zł

\[Me = \frac{5{,}70 + 6{,}00}{2} = \mathbf{5{,}85 \text{ zł}} \checkmark\]

Średnia — metoda odchyleń od bazy \(b = 6{,}00\):

Zamiast liczyć od zera, liczę odchylenia od wygodnej bazy \(b = 6{,}00\):

Cena	Odchylenie od 6,00	Liczba	Suma odchyleń
5,05	\(-0{,}95\)	2	\(-1{,}90\)
5,60	\(-0{,}40\)	4	\(-1{,}60\)
5,70	\(-0{,}30\)	2	\(-0{,}60\)
6,00	\(0\)	5	\(0\)
6,30	\(+0{,}30\)	3	\(+0{,}90\)

Suma odchyleń: \(-1{,}90 - 1{,}60 - 0{,}60 + 0 + 0{,}90 = -3{,}20\)

Średnia odchylenie: \(\frac{-3{,}20}{16} = -0{,}20\)

Średnia: \(\bar{x} = 6{,}00 + (-0{,}20) = \mathbf{5{,}80 \text{ zł}} \checkmark\)

Wzory z karty CKE

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31–32)

Mediana:

Środkowy wyraz uporządkowanego zbioru (dla nieparzystego \(n\)) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \(n\)).

Użyliśmy tego w 29.1 — wzięliśmy średnią wartości na pozycji 8. i 9.

Średnia arytmetyczna: \[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\]

Użyliśmy w 29.2 — sumę wszystkich cen podzieliliśmy przez \(n = 16\).

Średnia ważona (wariant dla danych z częstościami): \[\bar{s} = \frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}\]

Użyliśmy w 29.2 — wagi \(w_i\) to liczby sklepów z daną ceną.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Zadanie jest otwarte (uzupełnienie tabeli), ale podaję typowe błędne wyniki, które mogą się pojawić:

Dla mediany (29.1):

Błędny wynik	Błąd
5,70 zł	Wzięto tylko 8. wyraz (połowę środka), zapomniano o 9.
6,00 zł	Wzięto tylko 9. wyraz, zapomniano o 8.
5,60 zł	Pomylono medianę z dominantą (modą) — to najczęstsza cena, ale NIE mediana
5,80 zł	Zamieniono wyniki: wpisano średnią jako medianę

Dla średniej (29.2):

Błędny wynik	Błąd
5,85 zł	Zamieniono wyniki: wpisano medianę jako średnią
5,73 zł	Zsumowano 5 różnych cen i podzielono przez 5 — pominięto częstości!
6,00 zł	Podano cenę najczęstszą (moda), nie średnią

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Dla parzystej liczby danych (\(n = 16\)) mediana to średnia dwóch środkowych wartości — pozycja \(\frac{n}{2} = 8\) i \(\frac{n}{2}+1 = 9\). Nie bierz tylko jednej z nich!

⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu średniej z danych zebranych w tabelę częstości zawsze mnóż każdą wartość przez jej częstość (liczbę sklepów). Zsumowanie 5 cen i podzielenie przez 5 to klasyczny, kosztowny błąd.

⚠️ Uwaga: Mediana i średnia to dwie różne miary — w tym zadaniu wychodzą blisko (5,85 vs 5,80 zł), ale nie są równe. Nie myl ich przy przepisywaniu do tabeli!

Matura 2023 - Majowa