Poprawna odpowiedź: A — równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Sposób 1 — ograniczenie wartości lewej strony

Kluczowa obserwacja: lewa strona \(2\sin x + 3\cos x\) to funkcja postaci \(a\sin x + b\cos x\), która ma ograniczony zakres wartości.

Krok 1 — wyznaczamy maksymalną wartość wyrażenia \(2\sin x + 3\cos x\).

Dla funkcji postaci \(a\sin x + b\cos x\) zachodzi: \[-({\sqrt{a^2 + b^2}}) \leq a\sin x + b\cos x \leq \sqrt{a^2 + b^2}\]

To wynika z tego, że \(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x + \varphi)\) dla pewnego przesunięcia \(\varphi\), a sinus przyjmuje wartości co najwyżej \(1\).

Krok 2 — obliczamy \(\sqrt{a^2 + b^2}\) dla \(a = 2\), \(b = 3\): \[\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]

Krok 3 — porównujemy z prawą stroną: \[\sqrt{13} \approx 3{,}606 < 6\]

Skoro maksymalna możliwa wartość lewej strony wynosi \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\), a prawa strona równa się \(6\), to: \[2\sin x + 3\cos x \leq \sqrt{13} < 6 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}\]

Wniosek: lewa strona nigdy nie osiągnie wartości \(6\), więc równanie nie ma rozwiązań — ani w przedziale \((0, 2\pi)\), ani w ogóle.

Sposób 2 — nierówność przez własności funkcji sinusa i cosinusa

Zamiast korzystać ze wzoru na amplitudę, możemy posłużyć się bezpośrednim ograniczeniem.

Krok 1 — ograniczamy każdy składnik z osobna: \[-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -2 \leq 2\sin x \leq 2\] \[-1 \leq \cos x \leq 1 \implies -3 \leq 3\cos x \leq 3\]

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami: \[-2 + (-3) \leq 2\sin x + 3\cos x \leq 2 + 3\] \[-5 \leq 2\sin x + 3\cos x \leq 5\]

Krok 3 — porównujemy z prawą stroną równania: \[2\sin x + 3\cos x \leq 5 < 6\]

Prawa strona \(6\) leży poza zakresem lewej strony.

Wniosek: równanie nie ma żadnych rozwiązań rzeczywistych. ∎

Uwaga: Sposób 1 daje dokładniejsze ograniczenie (\(\sqrt{13} \approx 3{,}61\)), a Sposób 2 daje luźniejsze (\(5\)), ale oba wystarczają, bo \(\sqrt{13} < 5 < 6\).

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — własność funkcji sinus i cosinus:

Z definicji (punkt na okręgu jednostkowym): \[-1 \leq \sin x \leq 1, \quad -1 \leq \cos x \leq 1 \quad \text{dla każdego } x\]

Użyliśmy tego w Sposobie 2 do oszacowania zakresu lewej strony.

Dział 9 — jedynka trygonometryczna: \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\]

Stoi za tym fakt, że \(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\) — to przekształcenie korzysta z jedynki trygonometrycznej przy wyprowadzeniu. Użyte w Sposobie 1.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
B	Uczeń "rozwiązuje" równanie jakby sinusy i cosinusy mogły przyjmować dowolne wartości — np. przez podstawienie \(\sin x = t\) bez sprawdzenia, czy \(t \in [-1,1]\). Dostaje jedno "rozwiązanie", które jest poza dziedziną.
C	Uczeń liczy deltę z jakiegoś "spreparowanego" równania kwadratowego (np. po zamianie \(\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}\)) i dostaje dwa wyniki, nie sprawdzając czy należą do \([-1,1]\).
D	Błędne utożsamienie z równaniem, które rzeczywiście ma nieskończenie wiele rozwiązań — np. \(2\sin x + 3\cos x = 1\).

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie sprawdzenia zakresu. Uczeń algebraicznie "wyznacza" \(\sin x = \text{coś} > 1\) i bezkrytycznie zapisuje odpowiedź B lub C. Zawsze po wyznaczeniu \(\sin x\) lub \(\cos x\) sprawdź, czy wynik mieści się w \([-1, 1]\)!

⚠️ Uwaga: Warto pamiętać, że \(\sqrt{a^2+b^2}\) to dokładna górna granica wyrażenia \(a\sin x + b\cos x\). Szacowanie przez \(|a| + |b|\) jest szybsze, ale mniej precyzyjne — tu oba wystarczają, bo \(5 < 6\) i \(\sqrt{13} < 6\).

⚠️ Uwaga: Przedział \((0, 2\pi)\) to tzw. "wabik" — sugeruje, że może być 1 lub 2 rozwiązania. Nie daj się złapać: gdy równanie nie ma rozwiązań w ogóle (\(x \in \mathbb{R}\)), to tym bardziej nie ma ich w żadnym przedziale.

Matura 2015 - Majowa