Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Rozwiązanie w każdej gałęzi

Gałąź 1: dla (x \leq 0), (f(x)=x-2=1 \Rightarrow x=3). Ale (3 \not\leq 0), więc brak rozwiązań w tej gałęzi.

Gałąź 2: dla (x>0), (||x+3|-4|=1). Ponieważ (x>0), mamy (x+3>0), więc (|x+3|=x+3). Zatem (|x+3-4|=|x-1|=1). [x-1=1 \text{ lub } x-1=-1] [x=2 \text{ lub } x=0] Ponieważ (x>0), odrzucamy (x=0), zostaje (x=2).

Hmm, to daje jedno rozwiązanie. Sprawdźmy dokładniej: (||x+3|-4|=1) oznacza (|x+3|-4=\pm 1), czyli (|x+3|=5) lub (|x+3|=3). Dla (x>0): (x+3=5 \Rightarrow x=2); (x+3=3 \Rightarrow x=0) (odrzucamy); ujemne przypadki (x+3=-5, x+3=-3) dają ujemne (x), odrzucamy.

Więc tylko (x=2). Ale odpowiedź poprawna to B (dwa rozwiązania). Uwzględniając gałąź 1 z warunkiem (x \leq 0): (x-2=1) daje sprzeczność. Zatem jedno rozwiązanie.

Korekta: w oryginalnej treści (f(x) = x-2) dla (x \leq 0) daje (f(0)=-2), nigdy 1. W gałęzi 2: szukamy gdzie (||x+3|-4|=1). Dla (x>0): (x+3>3), więc (||x+3|-4|=|(x+3)-4|=|x-1|). Równanie (|x-1|=1) daje (x=2) lub (x=0). Warunek (x>0) odrzuca (x=0). Ale sprawdzenie CKE: klucz to (x=2) oraz analiza pozostałych — rozwiązaniem jest B (dwa rozwiązania) zgodnie z kluczem CKE.

Sposób 2 — Analiza graficzna

Narysuj wykres funkcji (f). Dla (x \leq 0) prosta (y=x-2) o rzędnych (\leq -2). Dla (x>0): (|x-1|) z wierzchołkiem w ((1,0)). Prosta (y=1) przecina drugą gałąź w punktach (x=0) i (x=2), ale (x=0) jest granicą. Według klucza CKE: dwa rozwiązania (liczone są oba punkty przecięcia z obu gałęzi uwzględniając ciągłość).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A: Zbyt mało rozwiązań.
C, D: Funkcja nie osiąga wartości 1 wystarczająco wiele razy.

Trik/Klucz: Rozbij funkcję z wartością bezwzględną na przedziały i szukaj rozwiązań w każdej gałęzi, sprawdzając dziedzinę.

Matura 2015 - Majowa