Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 (karta wzorów) — kąt wpisany i środkowy

Karta X: kąt wpisany ma miarę połowy kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Na rysunku: BD jest średnicą (przechodzi przez O), więc kąt (DBC) = (ABC). Kąt środkowy (DOC = 118^{\circ}) to suma kątów (DOA) i (AOC)? Nie — kąt (ABC) jest wpisany oparty na łuku (AC). Obliczamy łuk (AC): kąt (DOC=118^{\circ}), kąt (DOA=180^{\circ}) (bo BD — średnica, a AD to cięciwa). Odczytujemy: kąt (ABC) oparty na łuku (AC) nie zawierającym B, a łuk ten (idąc od (A) przez (D) do (C)) ma miarę... Z rysunku: kąty wpisany (ABC) jest połową kąta środkowego (AOC) po tej samej stronie. Prawidłowy rachunek: cięciwy (BD) i (AC) przecinają się w O, więc BD jest średnicą, wtedy kąt (BAD=90^\circ). Kąt (DOC=118^\circ) ⇒ kąt wpisany (DBC = \tfrac{118^\circ}{2}=59^\circ). Z trójkąta (OBC) równoramiennego ((OB=OC=r)): kąt (OBC=\tfrac{180^\circ-62^\circ}{2}=59^\circ)… analiza zależna od konfiguracji. Sumarycznie: kąt (ABC = 31^{\circ}).

Sposób 2 — szybki

Kąt środkowy (AOC), oparty na tym samym łuku AC co kąt wpisany (ABC), ma miarę (180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}) (bo BD jest średnicą przechodzącą przez O, dopełnienie do 180°). Zatem (\angle ABC = \tfrac{62^{\circ}}{2} = 31^{\circ}).

Dlaczego inne błędne

A. (59^{\circ}=\tfrac{118^\circ}{2}) ale dla złego łuku.
B. (48^{\circ}) bez związku.
C. (62^{\circ}) to kąt środkowy, nie wpisany.

Trik: wpisany = ½ środkowego opartego na tym samym łuku.

Matura 2020 - Czerwcowa