Poprawna odpowiedź: C — \(54\)

Sposób 1 — Wzór na pole trapezoidalnego czworokąta (siatka współrzędnych)

Ustawiamy układ współrzędnych. Niech: \[A = (0,\, 0),\quad B = (a,\, 0),\quad C = (a,\, h),\quad D = (0,\, h)\] gdzie \(a \cdot h = 90\).

Wyznaczamy punkt \(P\) na \(AB\):

Z warunku \(\dfrac{|AP|}{|PB|} = \dfrac{3}{2}\) wynika, że \(P\) dzieli \(AB\) w stosunku \(3:2\), czyli: \[|AP| = \frac{3}{5}a \implies P = \left(\frac{3a}{5},\, 0\right)\]

Wyznaczamy punkt \(R\) na \(CD\):

Bok \(CD\) biegnie od \(C=(a,h)\) do \(D=(0,h)\). Z warunku \(\dfrac{|CR|}{|RD|} = \dfrac{3}{2}\): \[|CR| = \frac{3}{5}a \implies R = \left(a - \frac{3a}{5},\, h\right) = \left(\frac{2a}{5},\, h\right)\]

Obliczamy pole czworokąta \(APCR\) wzorem Shoelace'a:

Wierzchołki: \(A=(0,0)\), \(P=\!\left(\tfrac{3a}{5},0\right)\), \(C=(a,h)\), \(R=\!\left(\tfrac{2a}{5},h\right)\).

\[P_{APCR} = \frac{1}{2}\left|\,x_A(y_P - y_R) + x_P(y_C - y_A) + x_C(y_R - y_P) + x_R(y_A - y_C)\,\right|\]

\[= \frac{1}{2}\left|\,0\cdot(0-h) + \frac{3a}{5}\cdot h + a\cdot h + \frac{2a}{5}\cdot(-h)\,\right|\]

\[= \frac{1}{2}\left|\frac{3ah}{5} + ah - \frac{2ah}{5}\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{3ah - 2ah}{5} + ah\right| = \frac{1}{2}\cdot\frac{6ah}{5} = \frac{3ah}{5}\]

Ponieważ \(ah = 90\): \[\boxed{P_{APCR} = \frac{3 \cdot 90}{5} = 54}\]

Sposób 2 — Metoda dopełnienia (odejmowanie trójkątów)

Zamiast liczyć pole \(APCR\) bezpośrednio, odejmujemy od pola całego prostokąta dwa trójkąty narożne.

Trójkąt \(PBC\): wierzchołki \(P=\!\left(\tfrac{3a}{5},0\right)\), \(B=(a,0)\), \(C=(a,h)\). \[P_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot |PB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} \cdot h = \frac{ah}{5} = \frac{90}{5} = 18\]

Trójkąt \(ADR\): wierzchołki \(A=(0,0)\), \(D=(0,h)\), \(R=\!\left(\tfrac{2a}{5},h\right)\). \[P_{ADR} = \frac{1}{2} \cdot |RD| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} \cdot h = \frac{ah}{5} = 18\]

Prostokąt \(ABCD\) = \(APCR\) + trójkąt \(PBC\) + trójkąt \(ADR\), zatem: \[P_{APCR} = 90 - 18 - 18 = \mathbf{54}\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15–21) — pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 do obliczenia pól obu trójkątów narożnych.

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22–25) — wzór na pole trójkąta ze współrzędnych (dla Sposobu 1): \[P = \frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A (\(36\))	Użycie \(\frac{\|PB\|}{\|AB\|} = \frac{2}{5}\) zamiast \(\frac{\|AP\|}{\|AB\|} = \frac{3}{5}\) — pomylenie "swojego" odcinka z "resztą"; \(\frac{2}{5} \cdot 90 = 36\)
B (\(40\))	Błędne zastosowanie proporcji — np. pomnożenie \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 90 = \frac{4}{9} \cdot 90 = 40\) (jak przy figurach podobnych, ale tu figury nie są podobne)
D (\(60\))	Odjęcie tylko jednego trójkąta narożnego: \(90 - 18 = 72\)... lub wzięcie \(\frac{2}{3} \cdot 90 = 60\) przez błędne uproszczenie stosunku \(3:2\)

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Stosunek \(\frac{|AP|}{|PB|} = \frac{3}{2}\) znaczy, że \(|AP| = \frac{3}{5}|AB|\), NIE \(\frac{3}{2}|AB|\). Mianownik we wzorze to suma \(3+2=5\).

⚠️ Uwaga: Punkt \(R\) jest mierzony od \(C\), a nie od \(D\) — \(\frac{|CR|}{|RD|} = \frac{3}{2}\) umieszcza \(R\) bliżej \(D\) (bo \(|RD| = \frac{2}{5}|CD|\)), co "przesuwa" czworokąt w stronę trapezoidalną. Zły kierunek liczenia = zły wynik.

⚠️ Uwaga: \(APCR\) jest tu równoległobokiem (obie poziome podstawy mają długość \(\frac{3a}{5}\)), więc można też skorzystać z: \(P = \text{podstawa} \times \text{wysokość} = \frac{3a}{5} \cdot h = \frac{3 \cdot 90}{5} = 54\).

Matura 2020 - Czerwcowa