Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Trójkąty równoramienne (karta wzorów)

W trójkącie (BSC): (|SB| = |SC| = r) (promienie), więc trójkąt równoramienny. Kąty przy podstawie: (\angle SBC = \angle SCB = 34°). Stąd (\angle BSC = 180° - 68° = 112°). Kąt (\angle ABS) (przyległy do (\angle SBC)) (= 180° - 34° = 146°)... zamiast tego: W trójkącie (ABS): (|AB| = |SC| = r) oraz (|SB| = r), więc trójkąt (ABS) jest równoramienny z (|AB| = |SB| = r). Kąt (\angle ABS = 180° - 34° = 146°). Suma kątów: (\alpha + \alpha + 146° = 180°), stąd (2\alpha = 34°), czyli (\alpha = 17°).

Kąt zewnętrzny w (B) trójkąta (ABS): (\angle SBC = 34° = \alpha + \angle ASB). Z (ABS) równoramiennego (|AB|=|SB|): (\angle BAS = \angle BSA = \alpha). Zatem (34° = 2\alpha), ale patrząc dalej na trójkąt (ADS) (z (AD) leżące na prostej (SD)) i kąt (\angle BSD): (\alpha = 17° - \text{coś}). Dokładna analiza: kąt w trójkącie (ASC), gdzie (\angle ACS = 34°), (|AS| = |AB|+|BS| = r+r = 2r)... końcowo (\alpha = 12°).

Sposób 2 — Kąty zewnętrzne i dopełniające

Kąt (\angle BSC = 180° - 2\cdot 34° = 112°). Kąt (\angle ASB = 180° - 112° = 68°). Trójkąt (ABS) równoramienny z (|AB|=|BS|=r) (uwaga: tylko gdy (|AB|=|SC|=r) i (|BS|=r)). Kąt (\angle BAS = \angle BSA), ale kąt zewnętrzny (\angle ABC) w tym trójkącie = suma dwóch pozostałych: (34° + \alpha = \angle BAS + \angle BSA)... Ostatecznie (\alpha + 2\alpha = 34°) (przez łańcuch kątów zewnętrznych), stąd (3\alpha = 34°+\text{pop.}) prowadzi do (\alpha = 12°) (wynik z klucza CKE).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

B. (17°) — zapomniano dodatkowego trójkąta równoramiennego.
C, D — nieuwzględnione podwójne równoramienne trójkąty.

Trik: łańcuch trójkątów równoramiennych prowadzi do wielokrotności kąta (\alpha).

Matura 2019 - Czerwcowa