Poprawna odpowiedź: B

\[\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2} \end{cases}\]

Sposób 1 — Odczyt z wykresu: punkt przecięcia + nachylenie prostych

Krok 1: Znajdź punkt przecięcia prostych z wykresu.

Z rysunku odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie \((3, 2)\).

Sprawdzamy, które układy mają rozwiązanie \(x = 3, y = 2\):

Układ A: \[y = -2 \cdot 3 + 8 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = -\tfrac{3}{2}\cdot 3 + \tfrac{13}{2} = -\tfrac{9}{2}+\tfrac{13}{2} = 2 \checkmark\]

Układ B: \[y = 2 \cdot 3 - 4 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = -\tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2} = 2 \checkmark\]

Układ C: \[y = 3 - 1 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = \tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{1}{2} = 2 \checkmark\]

Układ D: \[y = 3 \cdot 3 - 7 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = -\tfrac{2}{3}\cdot 3 + 4 = 2 \checkmark\]

Wniosek: Wszystkie cztery układy mają ten sam punkt przecięcia \((3, 2)\). Punkt przecięcia nie rozstrzyga — musimy przeanalizować nachylenie i położenie prostych.

Krok 2: Odczytaj znaki współczynników kierunkowych (nachylenie prostych).

Z wykresu widać, że:

jedna prosta biegnie w górę (z lewej dolnej do prawej górnej) → dodatni współczynnik kierunkowy
druga prosta biegnie w dół (z lewej górnej do prawej dolnej) → ujemny współczynnik kierunkowy

Eliminujemy układy, w których obie proste mają ten sam znak nachylenia:

Układ	Współczynniki kierunkowe	Ocena
A	\(-2\) i \(-\tfrac{3}{2}\)	Obie proste opadają — niezgodne z wykresem ❌
B	\(2\) i \(-\tfrac{1}{2}\)	Jedna rośnie, druga opada ✓
C	\(1\) i \(\tfrac{1}{2}\)	Obie proste rosną — niezgodne z wykresem ❌
D	\(3\) i \(-\tfrac{2}{3}\)	Jedna rośnie, druga opada ✓

Pozostały układy B i D.

Krok 3: Porównaj kąt między prostymi (prostopadłość).

Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:

Układ B: \[2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -1\] Iloczyn równy \(-1\) oznacza, że proste są prostopadłe — kąt między nimi wynosi \(90°\).

Układ D: \[3 \cdot \left(-\tfrac{2}{3}\right) = -2 \neq -1\] Proste nie są prostopadłe.

Z wykresu widać, że proste przecinają się pod kątem prostym (lub bardzo bliskim \(90°\)).

Zatem poprawna odpowiedź to B.

Sposób 2 — Odczyt miejsc przecięcia z osiami

Skoro wiemy, że mamy sprawdzić tylko układy B i D, odczytujemy z wykresu, gdzie proste przecinają oś \(OX\) i \(OY\).

Układ B:

Prosta \(y = 2x - 4\): przecina \(OX\) w \(x = 2\) (bo \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)), przecina \(OY\) w \(y = -4\)
Prosta \(y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}\): przecina \(OX\) w \(x = 7\), przecina \(OY\) w \(y = 3{,}5\)

Układ D:

Prosta \(y = 3x - 7\): przecina \(OX\) w \(x = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}33\), przecina \(OY\) w \(y = -7\)
Prosta \(y = -\tfrac{2}{3}x + 4\): przecina \(OX\) w \(x = 6\), przecina \(OY\) w \(y = 4\)

Z wykresu odczytujemy:

Prosta rosnąca przecina \(OY\) gdzieś około \(y = -4\) (a nie \(y = -7\))
Prosta rosnąca przecina \(OX\) w \(x = 2\) (a nie w \(x \approx 2{,}33\))

Oba odczyty wskazują na układ B.

Wzory z karty CKE

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22–25) — równanie kierunkowe prostej: \[y = ax + b\] gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej do osi \(OX\)).

Kryterium prostopadłości prostych: \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyliśmy go w Kroku 3 do rozróżnienia układów B i D.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	Uczeń sprawdza tylko punkt przecięcia \((3,2)\) — układ A go spełnia, ale obie proste mają ujemne nachylenie, co jest niezgodne z wykresem
C	Podobnie — punkt \((3,2)\) się zgadza, ale obie proste rosną (nachylenie dodatnie), wykres pokazuje proste o różnych znakach nachylenia
D	Najtrudniejszy błąd: proste mają właściwe znaki nachylenia, ale uczeń nie sprawdza dokładniej ani kąta, ani przecięć z osiami

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Samo sprawdzenie punktu przecięcia nie wystarczy — w tym zadaniu wszystkie cztery układy mają rozwiązanie \(x=3, y=2\). Musisz przeanalizować kształt wykresu.

⚠️ Uwaga: Przy odczytywaniu nachylenia prostej z wykresu zwracaj uwagę na znaki (rośnie/maleje) i przybliżoną stromość — prosta o współczynniku \(a = 2\) jest wyraźnie mniej stroma niż \(a = 3\).

⚠️ Uwaga: Prostopadłość prostych (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)) to bardzo przydatny test — jeśli na wykresie proste wyraźnie przecinają się pod kątem prostym, szukaj układu spełniającego ten warunek.

Matura 2018 - Sierpniowa