Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Trójkąt OBC jest równoboczny

A. (k=9): (S = -9 + \\ldots + 9 = 0 \\neq 21).
C. (k=21): suma dużo większa ((10+11+\\ldots+21 = 186)).
D. (k=31): jeszcze więcej.

(|OB| = |OC| = r) (promienie) oraz (|OB| = |BC|) (z treści), więc (|OB| = |OC| = |BC| = r). Trójkąt (OBC) jest równoboczny o boku (r). Spójrzmy na trójkąt (AOC): (|AO| = |OC| = r), więc jest równoramienny. Kąt (\angle AOC) to kąt przyległy do (\angle BOC = 60^{\circ}) (kąt trójkąta równobocznego), więc (\angle AOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}). Pole trójkąta ze wzoru (karta wzorów, Dział 9): [P = \tfrac{1}{2}\cdot |AO|\cdot|OC|\cdot \sin(\angle AOC) = \tfrac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot \sin 120^{\circ} = \tfrac{1}{2}r^{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}r^{2}.]

Sposób 2 — Przez wysokość

W trójkącie (OBC) równobocznym wysokość z (C) na (OB) ma długość (h = \tfrac{r\sqrt{3}}{2}) (wzór na wysokość trójkąta równobocznego). Ta wysokość jest też wysokością trójkąta (AOC) (prostopadła do prostej (AB), spuszczona z (C)). Podstawa (AO = r), wysokość (\tfrac{r\sqrt{3}}{2}), więc: [P_{AOC} = \tfrac{1}{2}\cdot r\cdot \tfrac{r\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}r^{2}.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\tfrac{1}{2}r^{2}) — gdyby (\sin(\angle AOC) = 1), czyli kąt prosty; tu 120°.
B. (\tfrac{1}{4}r^{2}) — ktoś użył (\sin 30^{\circ} = \tfrac{1}{2}); błędny kąt.
C. (\tfrac{\pi}{4}r^{2}) — zawiera (\pi); pole trójkąta nie zawiera (\pi).

Trik: Równoboczny trójkąt o boku (r) ma pole (\tfrac{r^{2}\sqrt{3}}{4}) — tu przypadkiem ta sama formuła!

Matura 2018 - Czerwcowa