Poprawna odpowiedź: B

\(25° < \varphi < 30°\)

Sposób 1 — Bezpośrednie wyznaczenie kąta ABC i jego połowy

Kluczowa obserwacja: Skoro \(BD\) leży na dwusiecznej kąta \(ABC\), to \(BD\) dzieli kąt \(ABC\) na dwie równe części. Stąd: \[\varphi = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2}\]

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia kąta \(\angle ABC\) w trójkącie prostokątnym.

Krok 1: Wyznacz \(\angle ABC\).

W trójkącie prostokątnym z kątem prostym przy \(C\): \[\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\]

Krok 2: Oceń wartość \(\arctan\!\left(\tfrac{5}{3}\right)\) korzystając z tablicy wartości.

Z tablicy (karta CKE, s. 34) lub wartości znanych: \[\operatorname{tg}(58°) \approx 1{,}600 \qquad \operatorname{tg}(59°) \approx 1{,}664 \qquad \operatorname{tg}(60°) \approx 1{,}732\]

Ponieważ \(\frac{5}{3} \approx 1{,}667 > \operatorname{tg}(59°)\), to: \[\angle ABC \approx 59°\]

Krok 3: Oblicz \(\varphi\).

\[\varphi = \frac{\angle ABC}{2} \approx \frac{59°}{2} \approx 29{,}5°\]

Zatem \(25° < \varphi < 30°\) — odpowiedź B.

Sposób 2 — Wzór na tangens połowy kąta

Krok 1: Wyznacz boki trójkąta.

Z twierdzenia Pitagorasa: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\]

Krok 2: Wyznacz sinus i cosinus kąta \(B\).

\[\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}}, \qquad \cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}}\]

Krok 3: Użyj wzoru na tangens połowy kąta.

\[\operatorname{tg}\!\left(\frac{\angle ABC}{2}\right) = \frac{\sin(\angle ABC)}{1 + \cos(\angle ABC)} = \frac{\dfrac{5}{\sqrt{34}}}{1 + \dfrac{3}{\sqrt{34}}} = \frac{5}{\sqrt{34} + 3}\]

Ponieważ \(\sqrt{34} \approx 5{,}831\): \[\operatorname{tg}(\varphi) = \frac{5}{5{,}831 + 3} = \frac{5}{8{,}831} \approx 0{,}566\]

Krok 4: Porównaj z tablicą.

\[\operatorname{tg}(29°) \approx 0{,}554 \qquad \operatorname{tg}(29{,}5°) \approx 0{,}566 \qquad \operatorname{tg}(30°) \approx 0{,}577\]

Wynika stąd, że \(\varphi \approx 29{,}5°\), czyli \(25° < \varphi < 30°\) — odpowiedź B.

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — definicja tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna do } \alpha}{\text{przyprostokątna przy } \alpha} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3}\] Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \(\angle ABC\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — twierdzenie Pitagorasa: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 = 25 + 9 = 34 \implies AB = \sqrt{34}\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia boków.

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — wzór na tangens połowy kąta (wynikający z jedynki trygonometrycznej): \[\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 zamiast dzielenia wartości kąta.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd	Co daje
A \((20°\!-\!25°)\)	Zamiana nóg: \(\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{3}{5}\) — wzięcie krótszej przyprostokątnej zamiast dłuższej	\(\angle ABC \approx 31°\), \(\varphi \approx 15{,}5°\) — poniżej wszystkich zakresów
C \((30°\!-\!35°)\)	Uznanie, że \(\varphi\) to cały kąt \(A\) w trójkącie: \(\operatorname{tg}(\angle BAC) = \frac{3}{5}\), więc \(\angle BAC \approx 31°\) — bez dalszego podziału	\(\varphi \approx 31°\) — blisko C, ale błędna interpretacja
D \((35°\!-\!40°)\)	Błędne „dzielenie tangensa" zamiast kąta: \(\operatorname{tg}(\varphi) \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}\)	\(\varphi = \arctan\!\tfrac{5}{6} \approx 39{,}8°\) — popada w zakres D

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części — nie dziel tangensa przez 2! Prawidłowo: \(\varphi = \frac{\angle ABC}{2}\), a nie \(\operatorname{tg}(\varphi) = \frac{\operatorname{tg}(\angle ABC)}{2}\).

⚠️ Uwaga: Uważaj, który kąt jest kątem \(\angle ABC\)! Kąt przy wierzchołku \(B\) ma po przeciwnej stronie bok \(AC = 5\), a przy nim bok \(BC = 3\). Stąd \(\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{5}{3}\), nie \(\frac{3}{5}\).

⚠️ Uwaga: Nie trzeba dokładnie wyliczyć kąta — wystarczy go zawęzić do jednego przedziału 5-stopniowego. Użyj tablicy wartości trygonometrycznych z karty CKE (s. 34) i sprawdź między którymi stopniami leży szukana wartość.

Matura 2017 - Czerwcowa