Poprawna odpowiedź: D — \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

Sposób 1 — wektory i wzór na cos kąta między nimi

Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.

Ściana boczna to prostokąt o bokach \(2\) (bok kwadratu) i \(h\) (wysokość). Przekątna tej ściany ma długość \(3\), więc: \[2^2 + h^2 = 3^2 \implies h^2 = 5 \implies h = \sqrt{5}\]

Ustawiamy układ współrzędnych.

Wierzchołki podstawy dolnej: \[A = (0,0,0),\quad B = (2,0,0),\quad D = (0,2,0)\]

Wierzchołki podstawy górnej: \[A' = (0,0,\sqrt{5}),\quad B' = (2,0,\sqrt{5}),\quad D' = (0,2,\sqrt{5})\]

Identyfikujemy dwie przekątne ścian bocznych wychodzące z wierzchołka \(A\).

Z wierzchołka \(A\) wychodzą przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych:

Ściana \(ABB'A'\): przekątna \(AB'\)
Ściana \(ADD'A'\): przekątna \(AD'\)

Wektory tych przekątnych: \[\vec{u} = \overrightarrow{AB'} = (2, 0, \sqrt{5}), \qquad \vec{v} = \overrightarrow{AD'} = (0, 2, \sqrt{5})\]

Obliczamy kąt \(\alpha\) między wektorami.

Długości wektorów (zgodnie z daną długością przekątnej = 3): \[|\vec{u}| = \sqrt{4 + 0 + 5} = \sqrt{9} = 3, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{0 + 4 + 5} = \sqrt{9} = 3\]

Iloczyn skalarny: \[\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\]

Cosinus kąta: \[\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}\]

Wyznaczamy \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\) ze wzoru połowicznego.

\[\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - \dfrac{5}{9}}{2} = \frac{\dfrac{4}{9}}{2} = \frac{2}{9}\]

\[\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{3}}\]

Sposób 2 — twierdzenie cosinusów w trójkącie \(AB'D'\)

Znamy już \(h = \sqrt{5}\), wierzchołki \(A=(0,0,0)\), \(B'=(2,0,\sqrt{5})\), \(D'=(0,2,\sqrt{5})\).

Obliczamy długość \(B'D'\) (podstawy trójkąta): \[|B'D'| = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (\sqrt{5}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{4+4+0} = 2\sqrt{2}\]

W trójkącie \(AB'D'\) mamy:

\(|AB'| = |AD'| = 3\) (przekątne ścian bocznych)
\(|B'D'| = 2\sqrt{2}\)
kąt przy wierzchołku \(A\) to szukany \(\alpha\)

Z twierdzenia cosinusów: \[|B'D'|^2 = |AB'|^2 + |AD'|^2 - 2|AB'||AD'|\cos\alpha\] \[8 = 9 + 9 - 18\cos\alpha \implies \cos\alpha = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\]

Identycznie jak w Sposobie 1: \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\).

Wzory z karty CKE

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4–5) — działania na pierwiastkach: \[\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\] Użyte przy upraszczaniu wyniku końcowego.

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — brak gotowego wzoru na kąt przekątnych, ale korzystamy z własności graniastosłupa prostego, by wyznaczyć wysokość.

Dział 10 (Planimetria, s. 15–21) — twierdzenie Pitagorasa: \[d^2 = a^2 + h^2\] Użyte do wyznaczenia \(h = \sqrt{5}\) z długości przekątnej ściany bocznej.

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — wzór połowicznego kąta (wywodzona z jedynki trygonometrycznej): \[\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}\] Kluczowy wzór zamieniający \(\cos\alpha\) na \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A — \(\dfrac{2}{3}\)	Wzięcie \(\sin\alpha\) zamiast \(\sin\dfrac{\alpha}{2}\), lub błąd w wzorze połowicznym (pominięcie dzielenia przez 2)
B — \(\dfrac{\sqrt{7}}{3}\)	Błędnie policzony iloczyn skalarny: np. wzięcie długości podstawy \(2\) zamiast \(\sqrt{5}\) jako składowej pionowej, co daje \(\cos\alpha = \frac{4}{9}\) → \(\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{5}}{3}\), lub inna pomyłka arytmetyczna
C — \(\dfrac{\sqrt{7}}{7}\)	Błędnie przyjęta wysokość graniastosłupa (np. \(h = \sqrt{7}\) przez pomylenie \(d^2 = a^2 + h^2\) z \(d^2 = 2a^2 + h^2\) — użycie przekątnej podstawy zamiast boku)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Przekątna ściany bocznej to \(\sqrt{a^2 + h^2}\), a nie \(\sqrt{2a^2 + h^2}\) — ta druga to przekątna całego graniastosłupa. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd przy wyznaczaniu \(h\).

⚠️ Uwaga: Z wierzchołka wychodzą przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych (nie naprzeciwległych!). Gdyby wziąć naprzeciwległe ściany, kąt byłby zupełnie inny.

⚠️ Uwaga: Wzór \(\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\) wymaga, by \(\dfrac{\alpha}{2}\) był kątem ostrym (co tu zachodzi, bo \(\alpha < 180°\)), więc bierzemy pierwiastek bez znaku minus.

Matura 2016 - Sierpniowa