Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Trójkąt równoramienny z przekątnymi (karta wzorów)

Dwie przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka mają długość (3). Drugi wierzchołek każdej z nich to po dwóch ścianach sąsiadujących (obydwie leżą na tej samej krawędzi poziomej długości (2)). Rozważmy wierzchołek w dolnej podstawie, obie przekątne prowadzą do wierzchołków górnej podstawy sąsiednich ścian.

Te dwa górne końce leżą na ścianach sąsiednich, a odległość między nimi to przekątna kwadratu podstawy: (2\sqrt{2}).

Rozważmy trójkąt równoramienny: dwa ramiona po (3), podstawa (2\sqrt{2}). Opuśćmy wysokość z wierzchołka kąta (\alpha) do podstawy — dzieli ją na pół: (\sqrt{2}). Wtedy w trójkącie prostokątnym: [\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}.]

Sposób 2 — Współrzędne

Ustawmy wierzchołek w ((0,0,0)). Dolny kwadrat: ((0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0)). Górny: to samo przesunięte o wysokość (h). Przekątne bocznych ścian z punktu ((0,0,0)): do ((2,0,h)) i do ((0,2,h)). Obie mają długość (\sqrt{4+h^{2}}=3), więc (h^{2}=5).

Odległość między ((2,0,h)) i ((0,2,h)) to (\sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}). Trójkąt równoramienny z bokami (3,3,2\sqrt{2}). Jak wyżej: (\sin\tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{3}).

Sposób 3 — Twierdzenie kosinusów

(\cos\alpha = \dfrac{3^{2}+3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}{2\cdot 3\cdot 3} = \dfrac{9+9-8}{18} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}). Ze wzoru (\sin^{2}\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{1-\cos\alpha}{2}): (\sin^{2}\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{1-\tfrac{5}{9}}{2} = \tfrac{\tfrac{4}{9}}{2} = \tfrac{2}{9}), więc (\sin\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{3}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\tfrac{2}{3}) — błędnie wzięto za podstawę (4) zamiast (2\sqrt{2}).
B. (\tfrac{\sqrt{7}}{3}) — to (\cos\tfrac{\alpha}{2}) ze złymi danymi.
C. (\tfrac{\sqrt{7}}{7}) — błąd, złe wyrażenie.

Trik: w trójkącie równoramiennym (\sin\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{\text{pół podstawy}}{\text{ramię}}).

Matura 2016 - Sierpniowa