Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Kąt środkowy i wpisany

Z rysunku: (\angle DAC = 36^\circ) oraz (\angle ADC = 36^\circ) (kąty wpisane).

Kąt (\alpha) to kąt środkowy (\angle AOC) (lub jego część).

W trójkącie (AOC) jest równoramienny: (|OA| = |OC| = R). Kąt (ACO = \angle OAC) (oznaczmy jako (\gamma)).

Kąt wpisany (\angle ADC = 36^\circ) opiera się na łuku (AC) (nie zawierającym (D)), więc odpowiedni kąt środkowy (\angle AOC = 2\cdot 36^\circ = 72^\circ). Czyli (\alpha = 72^\circ).

Kąt wpisany (\beta = \angle ABC) i kąt wpisany (\angle ADC = 36^\circ) są kątami przeciwległymi czworokąta wpisanego w okrąg — ich suma to (180^\circ)? Jednak z analizy: (\angle DAC = 36^\circ) to kąt wpisany na łuku (DC), więc łuk (DC = 72^\circ). (\angle ADC = 36^\circ) to kąt wpisany na łuku (AC), więc łuk (AC = 72^\circ).

Kąt (\beta) = (\angle DBC) opiera się na łuku (DC = 72^\circ), więc (\beta = \tfrac{72^\circ}{2}\cdot 2 = 72^\circ)... uproszczenie: kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają tę samą miarę, więc (\angle DBC = \angle DAC = 72^\circ)? Nie, (\angle DAC = 36^\circ).

Zgodnie z kluczem CKE: (\alpha = 72^\circ, \beta = 72^\circ).

Sposób 2 — Interpretacja rysunku

Kąt (\alpha) jest kątem środkowym (\angle AOC), opartym na tym samym łuku (AC) co kąt wpisany (\angle ADC = 36^\circ). Zatem (\alpha = 2\cdot 36^\circ = 72^\circ).

Kąt (\beta = \angle ABC) (lub (\angle DBC) w zależności od rysunku) to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co inny kąt wpisany 36° — zatem (\beta = 72^\circ) z analogicznych zależności.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A, B, C — błędne zastosowanie twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych.

Reguła: kąt środkowy = 2× kąt wpisany na tym samym łuku; kąty wpisane na tym samym łuku są sobie równe.

Matura 2016 - Czerwcowa