Poprawna odpowiedź: D (\(20\))

Sposób 1 — Współrzędne i ilorazy pól

Ustawienie układu współrzędnych.

Niech \(C = (0,0)\), \(A = (2a, 0)\), \(B = (0, 2b)\), gdzie \(a, b > 0\). Kąt prosty jest przy \(C\).

Środki przyprostokątnych: \[D = (a, 0), \quad E = (0, b)\]

Równanie prostej \(AB\): \(bx + ay = 2ab\).

Odległości \(DF\) i \(EG\) od \(AB\).

\[DF = \frac{|b \cdot a + a \cdot 0 - 2ab|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

\[EG = \frac{|b \cdot 0 + a \cdot b - 2ab|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Wniosek: \(DF = EG\). (Obydwa punkty \(D\), \(E\) leżą na środkowej \(DE \parallel AB\), więc są równoodległe od \(AB\).)

Podstawy \(AF\) i \(BG\).

Rzut odcinka \(\overrightarrow{DA}\) na kierunek \(AB\): \[AF = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Rzut odcinka \(\overrightarrow{EB}\) na kierunek \(AB\): \[BG = \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Pola trójkątów (trójkąty prostokątne przy \(F\) i \(G\)):

\[P_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a^3 b}{2(a^2+b^2)} = 4\]

\[P_{BGE} = \frac{1}{2} \cdot BG \cdot EG = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{ab^3}{2(a^2+b^2)} = 1\]

Wyznaczenie stosunku \(a/b\):

\[\frac{P_{AFD}}{P_{BGE}} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{1} = 4 \implies a = 2b\]

Wyznaczenie \(b\) (podstawiam \(a = 2b\) do wzoru na \(P_{BGE}\)):

\[\frac{(2b) \cdot b^3}{2\bigl((2b)^2 + b^2\bigr)} = \frac{2b^4}{2 \cdot 5b^2} = \frac{b^2}{5} = 1 \implies b^2 = 5\]

Pole trójkąta \(ABC\):

\[\boxed{P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2b = 2ab = 2 \cdot 2b \cdot b = 4b^2 = 4 \cdot 5 = 20}\]

Sposób 2 — Sprytna obserwacja geometryczna

Kluczowe spostrzeżenie: \(DF = EG = h\) (ta sama wysokość, jak wyżej).

Suma podstaw: \[AF + BG = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{a^2+b^2} = \frac{|AB|}{2}\]

Suma podstaw obu trójkątów równa się połowie przeciwprostokątnej.

Związek z polem \(ABC\):

Wysokość z \(C\) na \(AB\) wynosi: \[H = \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2h\]

bo \(D\), \(E\) leżą na środkowej równoległej do \(AB\) — w połowie odległości między \(C\) a \(AB\).

Stąd: \[P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (AF + BG) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{|AB|}{2} = \frac{h \cdot |AB|}{4} = \frac{1}{4} \cdot \underbrace{2h}_{=H} \cdot \frac{|AB|}{2} \cdot 2\]

Porządniej: \[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot H = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 2h = |AB| \cdot h\] \[P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{|AB|}{2} = \frac{|AB| \cdot h}{4} = \frac{P_{ABC}}{4}\]

Zatem: \[P_{ABC} = 4 \cdot (P_{AFD} + P_{BGE}) = 4 \cdot (4 + 1) = \mathbf{20}\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15–16) — pole trójkąta przez podstawę i wysokość: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] Użyliśmy tego do obliczenia pól trójkątów \(AFD\) i \(BGE\) (każdy jest prostokątny przy odpowiednio \(F\) i \(G\)).

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22–23) — odległość punktu od prostej: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Użyliśmy do wyznaczenia długości \(DF\) i \(EG\) (odległości \(D\) i \(E\) od prostej \(AB\)) w Sposobie 1.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A (\(12\))	Błędne założenie, że \(P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{S}{3} + \ldots\) albo pomyłka w obliczeniu stosunku \(a/b\) i dalsze błędy rachunkowe
B (\(16\))	Użycie tylko jednego trójkąta: \(S = 4 \cdot P_{AFD} = 4 \cdot 4 = 16\) — pominięcie wkładu trójkąta \(BGE\)
C (\(18\))	Błędne przyjęcie \(P_{AFD} + P_{BGE} = \frac{S}{3{,}6}\) lub pomyłka w obliczeniu \(b^2\) (np. błąd w upraszczaniu \(\frac{2b^4}{10b^2}\))
D (\(20\))	✓ Poprawna odpowiedź

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć, że \(DF = EG\) — to nie jest przypadek! Wynika z tego, że \(D\) i \(E\) leżą na środkowej trójkąta równoległej do \(AB\). Ta równość jest kluczem do eleganckiego Sposobu 2.

⚠️ Uwaga: W Sposobie 1, zanim podstawisz \(a = 2b\) do wzoru na pole, sprawdź, do którego wzoru wstawiasz — pomyłka (wstawienie do \(P_{AFD}\) zamiast \(P_{BGE}\)) daje błędne \(b^2\) i inny wynik końcowy.

⚠️ Uwaga: Trójkąty \(AFD\) i \(BGE\) są prostokątne (przy \(F\) i \(G\)), bo \(DF \perp AB\) i \(EG \perp AB\) — to pozwala bezpośrednio korzystać ze wzoru \(P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}\) bez dodatkowych trudności.

Matura 2016 - Czerwcowa