Poprawna odpowiedź: A

\[V = \dfrac{1}{3}a^{2}b\pi\]

Sposób 1 — Identyfikacja brył obrotowej i zastosowanie wzoru na stożek

Krok 1: Ustalamy, które boki są przyprostokątnymi.

Mamy trójkąt z bokami \(a < b < c\). W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok to przeciwprostokątna (hypotenusa), więc \(c\) — to przeciwprostokątna. Boki \(a\) i \(b\) to przyprostokątne.

Skoro \(a < b\), to dłuższa przyprostokątna to \(b\).

Krok 2: Określamy oś obrotu i co się obraca.

Obracamy trójkąt wokół prostej zawierającej bok \(b\). Wyobraźmy sobie trójkąt ustawiony tak:

bok \(b\) leży na osi obrotu (pionowo),
bok \(a\) jest prostopadły do osi (poziomo), ma długość \(a\),
boki \(a\) i \(b\) zwierają kąt prosty.

Krok 3: Rozpoznajemy powstałą bryłę.

Przy obrocie o \(360°\) wokół boku \(b\):

bok \(a\) (prostopadły do osi) zakreśla koło o promieniu \(r = a\),
bok \(b\) (na osi) wyznacza wysokość \(h = b\),
wierzchołek naprzeciwko kąta prostego obraca się i spotyka się w jednym punkcie na osi.

Powstaje stożek o promieniu podstawy \(r = a\) i wysokości \(h = b\).

Krok 4: Obliczamy objętość.

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot a^2 \cdot b\]

\[\boxed{V = \frac{1}{3}a^2 b\pi}\]

Sposób 2 — Weryfikacja przez szczególny przypadek (trójkąt 3-4-5)

Weźmy przykładowy trójkąt z \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\) (spełnia \(3 < 4 < 5\), pitagorejski).

Obracamy wokół boku \(b = 4\): powstaje stożek o \(r = 3\), \(h = 4\).

Obliczamy objętość bezpośrednio: \[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi\]

Sprawdzamy wzory z odpowiedzi dla \(a=3, b=4, c=5\):

Odp.	Wzór	Wynik dla (3,4,5)
A	\(\frac{1}{3}a^2 b\pi\)	\(\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 4\cdot\pi = 12\pi\) ✓
B	\(a^2 b\pi\)	\(9\cdot 4\cdot\pi = 36\pi\) ✗
C	\(\frac{1}{3}b^2 a\pi\)	\(\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3\cdot\pi = 16\pi\) ✗
D	\(a^2\pi + \pi ac\)	\(9\pi + \pi\cdot 3\cdot 5 = 9\pi + 15\pi = 24\pi\) ✗

Odpowiedź A daje jedyny poprawny wynik.

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — wzór na objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}P_p \cdot h = \frac{1}{3}\pi r^2 h\] To jest dokładnie ten wzór użyty w Sposobie 1, gdzie \(r = a\) (krótsza przyprostokątna) i \(h = b\) (dłuższa przyprostokątna — oś obrotu).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
B	\(V = a^2 b\pi\) — to objętość walca (\(\pi r^2 h\)), nie stożka. Uczeń zapomina o czyniku \(\frac{1}{3}\). Stożek ma \(\frac{1}{3}\) objętości walca o tej samej podstawie i wysokości.
C	\(V = \frac{1}{3}b^2 a\pi\) — zamiana ról: uczeń bierze \(b\) jako promień i \(a\) jako wysokość, czyli obraca wokół krótszej przyprostokątnej. Błędna identyfikacja osi obrotu.
D	\(V = a^2\pi + \pi ac\) — bezsensowna kombinacja, prawdopodobnie pomylenie pola bocznego stożka (\(\pi r l\)) z objętością i błędne dodawanie. Nie jest to objętość żadnej standardowej bryły obrotowej.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Oś obrotu to dłuższa przyprostokątna (\(b\)), nie przeciwprostokątna (\(c\)) ani krótsza przyprostokątna (\(a\)). Treść mówi "prosta zawierająca dłuższą przyprostokątną" — skoro \(a < b < c\), dłuższa przyprostokątna to \(b\).

⚠️ Uwaga: Przy obrocie wokół jednej przyprostokątnej, drugą przyprostokątna staje się promieniem podstawy stożka — i to ona wchodzi do wzoru jako \(r\). Wielu uczniów myli, która jest promieniem, a która wysokością.

⚠️ Uwaga: Obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych zawsze daje stożek — nie walec, nie kulę. Zapamiętaj: to klasyczne zadanie o bryle obrotowej i wzór to \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\).

Matura 2015 - Sierpniowa