Poprawna odpowiedź: D

Proste \(k\) i \(m\) są prostopadłe.

Sposób 1 — Warunek prostopadłości przez współczynniki kierunkowe

Kluczowy fakt: Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\): \[a_1 \cdot a_2 = -1\]

Wypisujemy współczynniki kierunkowe czterech prostych:

Prosta	Równanie	Współczynnik kierunkowy
\(k\)	\(y = \frac{1}{2}x + 5\)	\(a_k = \frac{1}{2}\)
\(l\)	\(y = 2x + 5\)	\(a_l = 2\)
\(m\)	\(y = -2x + 3\)	\(a_m = -2\)
\(n\)	\(y = 2x - 5\)	\(a_n = 2\)

Sprawdzamy każdą parę z odpowiedzi:

Odp. A — \(l\) i \(n\): \[a_l \cdot a_n = 2 \cdot 2 = 4 \neq -1\] Nie są prostopadłe (są równoległe!).

Odp. B — \(l\) i \(m\): \[a_l \cdot a_m = 2 \cdot (-2) = -4 \neq -1\] Nie są prostopadłe.

Odp. C — \(k\) i \(n\): \[a_k \cdot a_n = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \neq -1\] Nie są prostopadłe (są równoległe w sensie tego warunku).

Odp. D — \(k\) i \(m\): \[a_k \cdot a_m = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 \checkmark\]

Proste \(k\) i \(m\) są prostopadłe.

Sposób 2 — Interpretacja geometryczna współczynników

Zamiast sprawdzać wszystkie pary, wystarczy zauważyć jedno kluczowe spostrzeżenie.

Co wiemy z geometrii: Jeśli prosta ma nachylenie \(a\), to prosta do niej prostopadła ma nachylenie \(-\frac{1}{a}\) (odwrotność ze zmianą znaku).

Szukamy pary, gdzie jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku:

\[a_k = \frac{1}{2} \implies \text{prosta prostopadła ma } a = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2 = a_m \checkmark\]

Od razu widzimy, że prosta \(m\) (ze współczynnikiem \(-2\)) jest prostopadła do prostej \(k\) (ze współczynnikiem \(\frac{1}{2}\)).

Weryfikacja: nachylenia \(k\) i \(m\) to odpowiednio \(\frac{1}{2}\) i \(-2\) — są to liczby przeciwne i odwrotne (jeden jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku), co jest klasyczną cechą prostych prostopadłych.

Wzory z karty CKE

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22–25) — warunek prostopadłości prostych: \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyliśmy tego warunku w Sposobie 1, sprawdzając iloczyn współczynników kierunkowych każdej pary prostych.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Para	Błąd
A	\(l\) i \(n\)	Obie mają współczynnik \(2\) — są równoległe, nie prostopadłe. Mylenie równoległości z prostopadłością.
B	\(l\) i \(m\)	\(2 \cdot (-2) = -4\), nie \(-1\). Błąd: wystarczy że jeden współczynnik jest ujemny — uczeń myśli „minus, to prostopadłe".
C	\(k\) i \(n\)	\(\frac{1}{2} \cdot 2 = 1\), nie \(-1\). Wynik to \(+1\), a nie \(-1\) — brakuje minusa. Typowa pomyłka: „iloczyn wynosi 1, więc chyba prostopadłe".

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\), a nie \(a_1 \cdot a_2 = 1\). Wynik musi być ujemny!

⚠️ Uwaga: Proste \(l\) i \(n\) mają ten sam współczynnik kierunkowy \(2\) (różnią się tylko wyrazem wolnym) — są równoległe. Nie mylić równoległości z prostopadłością!

⚠️ Uwaga: \(2 \cdot (-2) = -4 \neq -1\) — to częsty błąd. Sam ujemny iloczyn nie wystarczy — musi wynosić dokładnie \(-1\). Sprawdzaj zawsze obliczeniem, nie „na oko".

Matura 2014 - Sierpniowa