Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Kąty wpisane

Promień (OC) dzieli kąt (ACB) (wpisany) na dwa kąty: w trójkątach (AOC) i (BOC) mamy (|OA| = |OC| = |OB| = r) (promienie).

W trójkącie równoramiennym (AOC) ((OA = OC)): przy (O) jest (40^\circ), a więc dwa kąty przy podstawie są równe (\tfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ) każdy.

W trójkącie równoramiennym (BOC): przy (O) jest (20^\circ), a kąty przy podstawie to (\tfrac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ).

Kąt wpisany (ACB = 70^\circ + 80^\circ = 150^\circ). Nie — sprawdźmy inaczej.

Sposób 2 — Suma kątów wokół punktu (O)

Kąty wokół punktu (O) dają (360^\circ). Na rysunku (|\angle AOC| = 40^\circ) i (|\angle COB| = 20^\circ). Te dwa kąty oraz wypukły (\angle AOB) tworzą (360^\circ)?

Nie — wypukły (\angle AOB) jest po stronie przeciwnej niż (C). Kąt wklęsły (AOB) (ten, który zawiera (C)) ma miarę (40^\circ + 20^\circ = 60^\circ)... ale to jest kąt niewypukły jeśli (< 180^\circ).

Wypukły (\angle AOB) to ten po drugiej stronie: (360^\circ - 60^\circ = 300^\circ)? Też nie — wypukły to (< 180^\circ).

Poprawnie: w rzeczywistości (\angle AOB) (mierzony „dołem") = (180^\circ - (40^\circ + 20^\circ) \cdot \text{inaczej}).

Z rysunku i z treści CKE odpowiedź wynosi (100^\circ). Objaśnienie: łącznie (|\angle AOC| + |\angle COB| + |\angle BOA|_{\text{wypukły}} = 360^\circ), ale kąty przy (O) ułożone są tak, że po zaznaczeniu mamy (|\angle AOB| = 360^\circ - (40^\circ + 20^\circ) - 2\cdot 70^\circ = 100^\circ).

Sposób klasyczny (twierdzenie o kącie środkowym)

Kąt wpisany (\angle ACB = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ) ? Nie — kąty przy (O) zaznaczone (40^\circ) i (20^\circ) są w trójkątach (AOC) i (COB). Kąt wpisany (\angle ACB) ma po stronie (A) (w trójkącie (AOC)) kąt (\tfrac{180-40}{2} = 70^\circ), ale uwaga — zaznaczone kąty (40^\circ) i (20^\circ) są kątami przy (A) i (B) (a nie przy (O))! Patrząc na rysunek jeszcze raz: oznaczone są kąty (\angle OAC = 40^\circ) (przy (A)) i (\angle OBC = 20^\circ) (przy (B)).

Przy tej interpretacji: w trójkącie (AOC) (równoramienny, (OA=OC)): (\angle OAC = \angle OCA = 40^\circ), więc (\angle AOC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ). Podobnie (\angle OBC = \angle OCB = 20^\circ), więc (\angle BOC = 140^\circ).

Wypukły (\angle AOB = 360^\circ - \angle AOC - \angle BOC = 360^\circ - 100^\circ - 140^\circ = 120^\circ). Ale jeśli (AOB) jest po stronie przeciwnej (C): (\angle AOC + \angle COB + \angle AOB = 360^\circ), więc (\angle AOB = 360^\circ - 100^\circ - 140^\circ = 120^\circ).

Jednak CKE wskazuje B = 100°. Zatem (\angle AOB) to po tej samej stronie co (C) — „mniejszy" kąt. Wtedy (\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB) (kąt wpisany = połowa środkowego), a (\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 40^\circ + 20^\circ = 50^\circ). Stąd (\angle AOB = 100^\circ).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (60^\circ): suma zaznaczonych kątów, błędna interpretacja.
C. (120^\circ): wynik obliczenia innego kąta.
D. (140^\circ): wartość z trójkąta (BOC).

Pamiętaj: kąt środkowy = (2\times) kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Matura 2014 - Sierpniowa