Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Trójkąt prostokątny z kątem (60^\circ)

A. (12%): ktoś wziął wartość (12) jako procent bez sumowania.
B. (32%): błędna suma ((12+8+3+2)) lub pomyłka w ułamku.
D. (52%): to (\\tfrac{13}{25}) — pomyłka w stosunkach.

Trapez prostokątny: (\sphericalangle K = 90^\circ), (\sphericalangle L = 60^\circ). Ramię (KN) (wysokość trapezu) (h = 4\sqrt{3}).

Rzutujemy (M) na (KL) w punkt (P), wtedy (|MP| = h = 4\sqrt{3}) i (|KP|=|MN|=3). W trójkącie (PML) prostokątnym przy (P): [\tan 60^\circ = \dfrac{|MP|}{|PL|} \Rightarrow \sqrt{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{|PL|} \Rightarrow |PL| = 4.] Zatem (|KL| = |KP| + |PL| = 3 + 4 = 7).

Pole trapezu: [S = \dfrac{|KL|+|MN|}{2}\cdot h = \dfrac{7+3}{2}\cdot 4\sqrt{3} = 5\cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}.]

Sposób 2 — Podział na prostokąt + trójkąt

Prostokąt (KNMP): pole (= 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}). Trójkąt (PML) prostokątny: przyprostokątne (4) i (4\sqrt{3}), pole (= \tfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}). Łącznie: (12\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 20\sqrt{3}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (4+2\sqrt{3}): zbyt małe — pominięto wysokość.
B. (10\sqrt{3}): ktoś wziął średnią (\tfrac{7+3}{2}=5) ale wysokość (2\sqrt{3}).
D. (24+6\sqrt{3}): błędne rozłożenie pola.

Matura 2014 - Czerwcowa