Poprawna odpowiedź: B — \(3\)

Sposób 1 — Odczyt wartości funkcji z wykresu w przedziale

Co robimy: Patrzymy na wykres funkcji \(f\) i szukamy najwyższego punktu krzywej dla \(x \in \langle -1, 1 \rangle\).

Krok 1: Wyznaczamy przedział na osi \(x\).

Interesuje nas wyłącznie fragment wykresu między \(x = -1\) a \(x = 1\) (włącznie z końcami).

Krok 2: Patrzymy, jak wysokie są wartości \(f(x)\) w tym przedziale.

Z opisu wykresu wiemy, że:

funkcja osiąga lokalne maksimum około \(y = 4\) gdzieś w przedziale \([-2, 0]\),
ale to maksimum \(y = 4\) leży poza przedziałem \(\langle -1, 1 \rangle\) (bliżej \(x = -2\) lub \(x = -1,5\)),
w punkcie \(x = -1\) funkcja przyjmuje wartość mniejszą niż 4, bo krzywa już opada,
odczytując wykres w \(x = -1\): \(f(-1) = 3\),
dalej, dla \(x \in (0, 1]\), funkcja maleje poniżej \(3\).

Krok 3: Największa wartość w \(\langle -1, 1 \rangle\) to: \[\max_{x \in \langle -1, 1 \rangle} f(x) = f(-1) = 3\]

Odpowiedź: największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1, 1 \rangle\) wynosi \(\mathbf{3}\).

Sposób 2 — Analiza monotoniczności na przedziale

Zamiast szukać wizualnie "najwyższego punktu", możemy rozumować przez monotoniczność:

Krok 1: Z wykresu widać, że funkcja rośnie gdzieś dla \(x < x_0\) (gdzie \(x_0\) jest punktem maksimum lokalnego), a potem maleje.

Krok 2: Punkt maksimum lokalnego leży na lewo od \(x = -1\) (w okolicach \(x \approx -1{,}5\) lub \(x = -2\)).

Krok 3: Skoro dla \(x \in \langle -1, 1 \rangle\) funkcja jest już malejąca, to największą wartość przyjmuje na lewym końcu przedziału, czyli w \(x = -1\).

Krok 4: Z wykresu odczytujemy: \[f(-1) = 3\]

Dla porównania: \(f(0) \approx 2\), \(f(1) \approx 1\) — obie wartości mniejsze od \(3\). Wynik potwierdzony.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy umiejętność odczytywania wartości funkcji z wykresu oraz znajomość pojęcia wartości największej funkcji na przedziale.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odpowiedź	Typowy błąd
A. \(4\)	Uczeń odczytuje globalne maksimum funkcji (\(y \approx 4\)), nie zważając, że leży ono poza przedziałem \(\langle -1, 1 \rangle\) (np. w \(x \approx -2\))
C. \(2\)	Uczeń odczytuje wartość funkcji np. w \(x = 0\) i uznaje ją za największą, ignorując lewy kraniec przedziału \(x = -1\)
D. \(1\)	Uczeń patrzy na wartość w prawym końcu przedziału \(f(1) \approx 1\) i myli "wartość na końcu przedziału" z "wartością największą"

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Największa wartość funkcji na przedziale nie musi być maksimum globalnym! Zawsze ograniczaj się do wskazanego przedziału i szukaj tam najwyższego punktu krzywej.

⚠️ Uwaga: Gdy funkcja jest malejąca na całym przedziale \(\langle a, b \rangle\), jej największa wartość to \(f(a)\) — wartość w lewym krańcu. Nie trzeba szukać dalej.

⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że przedział domknięty \(\langle -1, 1 \rangle\) zawiera punkty \(x = -1\) i \(x = 1\) — są one częścią dziedziny, więc koniecznie sprawdź wartości na obu końcach!

Matura 2013 - Sierpniowa