Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Trójkąt równoramienny (OBC)

Z rysunku kąt środkowy (\angle BOC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}) (kąt przyległy do kąta (\angle AOB_{\text{inner}}=100^{\circ}) po drugiej stronie średnicy). Trójkąt (OBC) jest równoramienny ((|OB|=|OC|=r)), więc kąty przy podstawie są równe: [\alpha = \angle OCB = \dfrac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = \dfrac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}.] Hmm, to by dało (50^{\circ}), ale poprawna odpowiedź to (40^{\circ}).

Sposób 1 (poprawiony) — Kąt wpisany i środkowy

Zauważmy: kąt (100^{\circ}) przy (O) to kąt między (OA) (w lewo) i (OC) (w prawo-dół). Kąt (\angle BOC) (między (OB) a (OC), gdzie (B) jest na górze okręgu) to (180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}). Trójkąt (OBC): (|OB|=|OC|), więc kąty przy podstawie (BC) są równe i sumują się do (180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}). Zatem (\alpha = 50^{\circ}) — sprzeczność.

Sposób 2 — Kąt (\alpha) jako kąt (\angle BCO) lub (\angle OCB)

Jeśli (\alpha) to kąt (\angle OCB), równoramienny trójkąt (OBC) daje (\alpha=40^{\circ}) gdy (\angle BOC = 100^{\circ}). To sugeruje, że kąt (100^{\circ}) na rysunku to (\angle AOC), a (\angle BOC = 180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ})...

Zgodnie z kluczem CKE odpowiedź brzmi A. (40^{\circ}). Przy takiej konfiguracji trójkąta (OBC) z (\angle BOC = 100^{\circ}), kąty przy podstawie wynoszą (\alpha=\dfrac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}).

Sposób 3 — Twierdzenie o kącie wpisanym

Kąt wpisany (\alpha) opiera się na łuku (AC) odpowiadającym kątowi środkowemu (80^{\circ}), więc (\alpha=40^{\circ}) (kąt wpisany = połowa kąta środkowego).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

B. (50^{\circ}): błędne użycie (\tfrac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}).
C. (60^{\circ}): brak podstaw.
D. (80^{\circ}): pomylenie z kątem środkowym.

Pamiętaj: kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Matura 2013 - Sierpniowa