Poprawna odpowiedź: D

\[\frac{1}{27}\pi h^3\]

Sposób 1 — podstawienie ze wzoru na objętość stożka

Dane z treści zadania:

Wysokość stożka: \(h\)
Promień podstawy trzy razy mniejszy od wysokości, czyli: \(r = \frac{h}{3}\)

Krok 1: Zapisz wzór na objętość stożka.

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Krok 2: Podstaw \(r = \frac{h}{3}\) do wzoru.

\[V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 \cdot h\]

Krok 3: Oblicz \(\left(\frac{h}{3}\right)^2\).

\[\left(\frac{h}{3}\right)^2 = \frac{h^2}{9}\]

Krok 4: Wstaw i uproszcz.

\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{h^2}{9} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} \cdot \pi h^3 = \boxed{\frac{1}{27}\pi h^3}\]

Sposób 2 — podstawienie liczby konkretnej (weryfikacja)

Sprawdzimy wynik, podstawiając konkretną wartość \(h = 3\).

Wtedy \(r = \frac{h}{3} = \frac{3}{3} = 1\).

Obliczamy objętość:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 3 = \pi\]

Teraz sprawdzamy każdą odpowiedź dla \(h = 3\):

Odp.	Wyrażenie	Wartość dla \(h=3\)
A	\(\frac{1}{9}\pi h^2\)	\(\frac{1}{9}\pi \cdot 9 = \pi\) ← pasuje? ale
B	\(\frac{1}{27}\pi h^2\)	\(\frac{1}{27}\pi \cdot 9 = \frac{\pi}{3}\) ✗
C	\(\frac{1}{9}\pi h^3\)	\(\frac{1}{9}\pi \cdot 27 = 3\pi\) ✗
D	\(\frac{1}{27}\pi h^3\)	\(\frac{1}{27}\pi \cdot 27 = \pi\) ✓

Widzimy, że dla \(h=3\) zarówno A, jak i D dają \(\pi\). Sprawdźmy więc \(h = 6\) (wtedy \(r = 2\)):

\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 6 = 8\pi\]

Odp.	Wartość dla \(h=6\)	Zgadza się z \(8\pi\)?
A	\(\frac{1}{9}\pi \cdot 36 = 4\pi\)	✗
D	\(\frac{1}{27}\pi \cdot 216 = 8\pi\)	✓

Tylko odpowiedź D zgadza się dla obu wartości.

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — wzór na objętość stożka:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

To jest dokładnie wzór użyty w Sposobie 1. Na karcie wzorów masz go w sekcji poświęconej stożkowi, razem z polami powierzchni.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A	Obliczono \(\left(\frac{h}{3}\right)^2 = \frac{h}{9}\) zamiast \(\frac{h^2}{9}\) — tzn. pominięto potęgowanie \(h\), a \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}\) zastąpiono \(\frac{1}{9}\). Wynik ma złą jednostkę: \(h^2\) zamiast \(h^3\)
B	Zapomniano podnieść \(h\) do kwadratu — zapisano \(r^2 = \frac{h}{9}\) zamiast \(r^2 = \frac{h^2}{9}\), i dodatkowo pominięto jedno \(h\). Wynik \(\frac{1}{27}\pi h^2\) ma złą jednostkę
C	Poprawnie obliczono \(\frac{1}{27}\pi h^3\), ale następnie pomylono mianownik: zamiast \(27\) wpisano \(9\). Możliwe, że ktoś wyliczył \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\), zapominając, że \(\frac{1}{3}\) pochodzi ze wzoru, a \(\frac{1}{9}\) z \(r^2 = \frac{h^2}{9}\) — należy je pomnożyć

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: "Trzy razy mniejszy" znaczy \(r = \frac{h}{3}\), nie \(r = h - 3\). Nie odejmuj, tylko dziel!

⚠️ Uwaga: Przy podstawianiu \(r = \frac{h}{3}\) do \(r^2\) — cały ułamek podnosi się do kwadratu: \(\left(\frac{h}{3}\right)^2 = \frac{h^2}{9}\), nie \(\frac{h}{9}\). To najczęstszy błąd rachunkowy w tym zadaniu.

⚠️ Uwaga: Wynik musi mieć jednostkę \(h^3\) (objętość = długość³). Odpowiedzi A i B zawierają \(h^2\) — można je od razu odrzucić, bo mają złą "wymiarowość".

Matura 2013 - Czerwcowa