Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Kąt między styczną a cięciwą

A. (\\tfrac{1}{3}): (\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{1}{27}=\\tfrac{1}{24}\\ne\\tfrac{1}{3}).
B. (\\tfrac{1}{2}): (\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{1}{8}=\\tfrac{9}{64}\\ne\\tfrac{1}{3}).
D. (\\tfrac{3}{2}): (\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{27}{8} &gt; 1 &gt; \\tfrac{1}{3}).

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Zatem promień i styczna tworzą kąt (90^{\circ}). Jeżeli kąt między styczną a cięciwą wynosi (40^{\circ}), to kąt między cięciwą a promieniem (środkowym) wynosi: [90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}.] Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę jest równoramienny (oba ramiona to promienie). Kąty przy podstawie są równe, więc kąt wpisany (\alpha) jest równy: [\alpha = \dfrac{1}{2}\cdot \text{(kąt środkowy)} = \dfrac{50^{\circ}}{2}=25^{\circ}.]

Albo bezpośrednio: kąt wpisany oparty na tej samej cięciwie co kąt między styczną a cięciwą: [\alpha = \tfrac{1}{2}\cdot 50^{\circ} = 25^{\circ}.]

Sposób 2 — Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

Kąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tej cięciwie po przeciwnej stronie. Tu kąt między styczną a cięciwą jest (40^{\circ}) + kąt (50^{\circ}) między styczną a drugą cięciwą (z promienia). Kąt (\alpha) jest oparty na cięciwie wyznaczającej kąt środkowy (50^{\circ}), więc (\alpha = 25^{\circ}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (50^{\circ}) — kąt środkowy, nie wpisany.
B. (45^{\circ}) — nieuzasadniona wartość.
D. (20^{\circ}) — wynik (\tfrac{40^{\circ}}{2}), ale kąt środkowy nie wynosi (40^{\circ}).

Pamiętaj: kąt wpisany = połowa odpowiadającego kąta środkowego.

Matura 2013 - Czerwcowa