Poprawna odpowiedź: A — \(a < 0\) i \(b < 0\)

Uwaga wstępna: Opis AI do rysunku mówi o prostej rosnącej — jest to błędny opis. Opieramy się na treści zadania oraz poprawnej odpowiedzi: prosta jest malejąca i przecina \(OY\) poniżej zera.

Sposób 1 — Odczyt cech prostej wprost z wykresu

Funkcja liniowa ma postać \(y = ax + b\), gdzie:

\(a\) to współczynnik kierunkowy — opisuje nachylenie prostej (rosnąca / malejąca)
\(b\) to wyraz wolny — punkt przecięcia prostej z osią \(OY\), czyli \((0, b)\)

Krok 1 — Jaki znak ma \(a\)?

Prosta jest malejąca (spada w prawo). Współczynnik kierunkowy prostej malejącej jest ujemny: \[a < 0\]

Krok 2 — Jaki znak ma \(b\)?

Prosta przecina oś \(OY\) poniżej początku układu współrzędnych, czyli punkt \((0, b)\) leży poniżej osi \(OX\): \[b < 0\]

Wniosek: \(a < 0\) i \(b < 0\) — odpowiedź A.

Sposób 2 — Analiza przez ćwiartki

Możemy ustalić znaki \(a\) i \(b\) badając, przez które ćwiartki przechodzi prosta.

Prosta malejąca (\(a < 0\)) z ujemnym wyrazem wolnym (\(b < 0\)):

Przecięcie z \(OY\): punkt \((0, b)\), \(b < 0\) → prosta "wchodzi" poniżej osi \(OX\)
Przecięcie z \(OX\): \(x_0 = -\frac{b}{a}\); skoro \(b < 0\) i \(a < 0\), to \(-b > 0\) i \(-b/a < 0\) → prosta przecina \(OX\) po lewej stronie osi \(OY\)

Zatem prosta przechodzi przez ćwiartki II, III i IV (widoczny fragment: III i IV). To zgadza się z opisem zadania.

Sprawdzenie: weźmy konkretny przykład \(y = -x - 2\): \[y(0) = -2 \checkmark \quad (\text{poniżej zera})\] \[y(-3) = 1 > 0 \quad (\text{ćwiartka II})\] \[y(-1) = -1 < 0 \quad (\text{ćwiartka III})\] \[y(2) = -4 < 0 \quad (\text{ćwiartka IV})\]

Wszystko się zgadza — odpowiedź A.

Wzory z karty CKE

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22–23) — równanie prostej: \[y = ax + b, \quad \text{gdzie } a = \operatorname{tg}\alpha\]

\(a > 0\) → prosta rosnąca (kąt ostry z osią \(OX\))
\(a < 0\) → prosta malejąca (kąt rozwarty z osią \(OX\))
\(b\) = wartość funkcji dla \(x = 0\) → punkt przecięcia z \(OY\)

W tym zadaniu nie używamy skomplikowanych wzorów — wystarczy znajomość definicji współczynników \(a\) i \(b\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
B	Uczeń poprawnie odczytuje \(a < 0\) (malejąca), ale myli stronę — widzi, że prosta "idzie w górę" z lewej, i błędnie uznaje \(b > 0\)
C	Uczeń widzi fragment prostej w IV ćwiartce i myśli, że skoro "idzie w prawo i w dół", to rośnie — myli kierunek z nachyleniem; poprawnie odczytuje \(b < 0\)
D	Uczeń miesza wszystko — uznaje prostą za rosnącą (\(a > 0\)) i niepoprawnie odczytuje \(b > 0\)

Typowe pułapki

⚠️ Uwaga: Malejąca prosta (spada w prawo) ma ujemne \(a\)! Nie mylić: "idzie w dół po prawej" = \(a < 0\), a nie "idzie w górę po lewej" = \(a > 0\).

⚠️ Uwaga: \(b\) to nie nachylenie — to miejsce, gdzie prosta krzyżuje się z osią \(OY\) (oś pionowa). Patrz na wykres: czy punkt na osi \(OY\) jest powyżej czy poniżej zera.

⚠️ Uwaga: Fragment wykresu może być pokazany tylko w pewnych ćwiartkach — nie oznacza to, że prosta tylko tam przebiega. Zawsze patrz na nachylenie (malejąca/rosnąca) i punkt na \(OY\).

Matura 2013 - Majowa