Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

A. ((-3, 4)): (5\\cdot(-3)+3\\cdot 4 = -15+12 = -3 \\ne 3).
B. ((-3, 6)): (5\\cdot(-3)+3\\cdot 6 = -15+18 = 3) ✓, ale (8\\cdot(-3)-6\\cdot 6 = -60 \\ne 48).
D. ((9, 4)): (5\\cdot 9+3\\cdot 4 = 57 \\ne 3).

Kąt środkowy (\angle DSB = 50^{\circ}) (kąty wierzchołkowe do zaznaczonego (50^{\circ})). Kąt wpisany (\alpha) oparty na tym samym łuku (DB) co kąt środkowy (\angle DSB) jest równy połowie kąta środkowego: [\alpha = \dfrac{1}{2}\cdot 50^{\circ} = 25^{\circ}.]

Sposób 2 — Analiza geometryczna

Punkt (S) — środek okręgu, (M) — punkt na okręgu, (D) i (B) — końce łuku. Kąt (\angle DMB) jest kątem wpisanym opartym na łuku (DB). Kąt (\angle DSB) jest środkowym opartym na tym samym łuku. Z twierdzenia: (\alpha = \tfrac{1}{2}\angle DSB = 25^{\circ}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

B. (30^{\circ}): bezpodstawne; nie wynika z twierdzenia.
C. (40^{\circ}): (90^{\circ}-50^{\circ}); błędne użycie dopełnienia.
D. (50^{\circ}): pominięcie współczynnika (\tfrac{1}{2}); zlanie kąta środkowego z wpisanym.

Pamiętaj: kąt wpisany = (\tfrac{1}{2}) kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Matura 2013 - Majowa