Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

Kąt wpisany (ACB) i kąt środkowy (ASB) są oparte na tym samym łuku (AB) (po stronie przeciwnej do (C)).

Zaznaczony kąt (230^\circ) to większy kąt środkowy (odpowiada łukowi (AB) przechodzącemu przez (C)).

Łuk, na którym opiera się kąt wpisany (ACB), to łuk (AB) po przeciwnej stronie niż (C); odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę [360^\circ - 230^\circ = 130^\circ.]

Z twierdzenia: (\angle ACB = \dfrac{1}{2}\cdot 130^\circ = 65^\circ)? — sprawdźmy: ale tu (230^\circ) to łuk przechodzący od (A) do (B) po stronie (C)? Zgodnie z rysunkiem i odpowiedzią:

Poprawna interpretacja: kąt wpisany (ACB) opiera się na łuku (AB), który nie zawiera punktu (C). Ten łuk ma miarę równą kątowi środkowemu (230^\circ). [\angle ACB = \dfrac{1}{2}\cdot 230^\circ = 115^\circ.]

Sposób 2 — Analiza rysunku

Kąt środkowy (230^\circ > 180^\circ) jest po stronie przeciwnej niż (C). Kąt wpisany (\angle ACB) i ten kąt środkowy są oparte na tym samym łuku (AB), więc [\angle ACB = \dfrac{1}{2}\cdot 230^\circ = 115^\circ.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (65^\circ) — pomyłka: (\tfrac{1}{2}(360^\circ - 230^\circ) = 65^\circ), to byłaby miara kąta wpisanego opartego na przeciwnym łuku.
B. (100^\circ) — przypadkowa wartość.
D. (130^\circ) — to jest (360^\circ - 230^\circ) (kąt środkowy po przeciwnej stronie), nie połowa.

Pamiętaj: (\angle\text{wpisany} = \tfrac{1}{2}\angle\text{środkowy}) oparty na tym samym łuku.

Matura 2012 - Sierpniowa