Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Zamiana na postać kanoniczną i odczyt cech wykresu

Przekształćmy funkcję \(y = x^2 + 2x - 3\) do postaci kanonicznej, żeby łatwo odczytać wierzchołek paraboli.

Uzupełniamy do pełnego kwadratu: \[y = x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3\] \[y = (x + 1)^2 - 4\]

Wierzchołek paraboli to punkt \(W = (-1, -4)\).

Kierunek otwarcia: współczynnik \(a = 1 > 0\), więc parabola otwarta ku górze (ramiona idą w górę).

Miejsca zerowe (gdzie parabola przecina oś \(Ox\)): \[(x+1)^2 - 4 = 0 \implies (x+1)^2 = 4 \implies x + 1 = \pm 2\] \[x_1 = -3, \quad x_2 = 1\]

Punkt przecięcia z osią \(Oy\) (podstawiamy \(x = 0\)): \[y = 0 + 0 - 3 = -3\]

Podsumowanie cech wykresu:

otwarta ku górze
wierzchołek w \((-1, -4)\) — poniżej osi \(Ox\)
przecina oś \(Ox\) w punktach \((-3, 0)\) i \((1, 0)\)
przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, -3)\)

Szukamy rysunku, który spełnia WSZYSTKIE te warunki → rysunek A.

Sposób 2 — Podstawianie wybranych punktów

Sprawdzamy wartości funkcji dla kilku "łatwych" argumentów i weryfikujemy, który rysunek je pokazuje.

\(x\)	\(y = x^2 + 2x - 3\)	Obliczenie
\(-3\)	\(0\)	\(9 - 6 - 3 = 0\)
\(-1\)	\(-4\)	\(1 - 2 - 3 = -4\)
\(0\)	\(-3\)	\(0 + 0 - 3 = -3\)
\(1\)	\(0\)	\(1 + 2 - 3 = 0\)

Szukamy rysunku, na którym:

parabola przechodzi przez \((-3, 0)\) i \((1, 0)\) — przekroje z osią \(Ox\) po obu stronach, asymetrycznie względem osi \(Oy\),
wierzchołek leży w \((-1, -4)\) — najniższy punkt jest lekko po lewej stronie osi \(Oy\),
w \(x = 0\) wartość wynosi \(-3\).

Rysunek spełniający te warunki to A.

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–9) — postać kanoniczna i wierzchołek paraboli: \[f(x) = a(x - p)^2 + q, \quad p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}\] Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wierzchołka \((-1, -4)\).

Dział 7 (s. 8) — miejsca zerowe przy \(\Delta > 0\): \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\] Lub równoważnie — rozkład na czynniki z postaci kanonicznej. Wyznaczono \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi
B	Uczeń bierze parabolę otwartą ku dołowi (jakby \(a = -1\)) — zapomina, że współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni
C	Uczeń poprawnie otwiera ku górze, ale przyjmuje wierzchołek po prawej stronie osi \(Oy\) (np. myli znak — bierze \((+1, -4)\) zamiast \((-1, -4)\))
D	Uczeń odczytuje miejsca zerowe jako \(x = 3\) i \(x = -1\) (zamienia znaki wyraz wolny z środkowym — klasyczna pomyłka przy faktoryzacji \(x^2 + 2x - 3\))

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Przy zamianie \(y = x^2 + 2x - 3\) na postać kanoniczną — pamiętaj, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę. Tu: \(+1 - 1\). Jeśli zapomnisz odjąć, dostaniesz błędny wierzchołek.

⚠️ Uwaga: Wierzchołek paraboli \(y = (x+1)^2 - 4\) jest w \((-1, -4)\), nie w \((1, -4)\). Znak w nawiasie jest odwrotny niż współrzędna \(x\) wierzchołka — to klasyczna pułapka!

⚠️ Uwaga: Jeśli na rysunku oś \(Oy\) jest zaznaczona krótko, łatwo przeoczyć, że \(y(0) = -3\). Zawsze warto sprawdzić punkt dla \(x = 0\) — liczy się w 2 sekundy i pozwala od razu wyeliminować błędne wykresy.

Matura 2012 - Czerwcowa