Poprawna odpowiedź: B — \(2\sqrt{21}\)

Sposób 1 — Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) ramiona mają długość \(|AC| = |BC| = 5\), a wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\) ma długość \(|CD| = 2\).

Kluczowa obserwacja: W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta przy podstawie na podstawę bisekuje podstawę, czyli: \[|AD| = |BD| = \frac{|AB|}{2}\]

Teraz pracujemy w trójkącie prostokątnym \(ACD\) (kąt prosty przy \(D\)):

Ramię \(|AC| = 5\) to przeciwprostokątna
Wysokość \(|CD| = 2\) to jedna z przyprostokątnych
Szukamy \(|AD|\) — drugiej przyprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa: \[|AC|^2 = |CD|^2 + |AD|^2\] \[5^2 = 2^2 + |AD|^2\] \[25 = 4 + |AD|^2\] \[|AD|^2 = 21\] \[|AD| = \sqrt{21}\]

Skoro \(|AD| = \sqrt{21}\), to: \[|AB| = 2 \cdot |AD| = 2\sqrt{21}\]

Odpowiedź: \(|AB| = 2\sqrt{21}\)

Sposób 2 — Weryfikacja przez obliczenie pola trójkąta dwoma metodami

Mamy \(|AB| = 2\sqrt{21}\), \(|CD| = 2\), \(|AC| = |BC| = 5\).

Metoda 1 (podstawa × wysokość): \[P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{21} \cdot 2 = 2\sqrt{21}\]

Metoda 2 (wzór Herona): \[p = \frac{5 + 5 + 2\sqrt{21}}{2} = 5 + \sqrt{21}\] \[P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\] \[p - a = 5 + \sqrt{21} - 5 = \sqrt{21}\] \[p - b = 5 + \sqrt{21} - 5 = \sqrt{21}\] \[p - c = 5 + \sqrt{21} - 2\sqrt{21} = 5 - \sqrt{21}\]

\[P = \sqrt{(5+\sqrt{21}) \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{21} \cdot (5-\sqrt{21})}\] \[P = \sqrt{21 \cdot (5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}\] \[P = \sqrt{21 \cdot (25 - 21)}\] \[P = \sqrt{21 \cdot 4} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\]

Obie metody dają ten sam wynik — wynik potwierdzony.

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15–16) — twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia połowy długości podstawy w trójkącie prostokątnym \(ACD\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] Użyte w obu metodach weryfikacji (Sposób 2).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — wzór Herona: \[P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}\] Użyte do weryfikacji w Sposobie 2.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
A — \(6\)	Uczeń liczy \(\sqrt{25 + 4} - 1 = 6\) albo po prostu losowo. Częściej: pomyłka ze wzorem — zamiast \(\|AB\|^2 = 4(\|AC\|^2 - \|CD\|^2)\) pisze \(\|AB\| = \|AC\| + \|CD\| = 5 + 1 = 6\).
C — \(2\sqrt{29}\)	Uczeń dodaje zamiast odejmować: \(\|AD\|^2 = \|AC\|^2 + \|CD\|^2 = 25 + 4 = 29\), dostając \(\|AD\| = \sqrt{29}\), a stąd \(\|AB\| = 2\sqrt{29}\). To klasyczna pomyłka — odwrócenie twierdzenia Pitagorasa.
D — \(14\)	Uczeń liczy \(\|AB\|^2 = \|AC\|^2 - \|CD\|^2 = 25 - 4 = 21\) i bierze to jako wynik (nie pierwiastkuje), albo liczy \(\|AB\| = 2 \cdot 7 = 14\) myląc \(\sqrt{21} \approx 4{,}58\) z liczbą całkowitą.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Wysokość w trójkącie równoramiennym nie jest równa ramieniu. \(|CD| = 2\) to nie bok trójkąta, lecz wysokość — prostopadła do podstawy.

⚠️ Uwaga: Łatwo odwrócić twierdzenie Pitagorasa — pamiętaj, że szukana przyprostokątna zawsze jest krótsza od przeciwprostokątnej: \(|AD|^2 = |AC|^2 - |CD|^2\), nie \(|AC|^2 + |CD|^2\).

⚠️ Uwaga: Po obliczeniu \(|AD| = \sqrt{21}\) nie zapomnij pomnożyć przez \(2\) — bo \(D\) jest środkiem \(AB\), a cała podstawa to \(|AB| = 2 \cdot |AD|\).

Matura 2012 - Majowa