Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Podobieństwo trójkątów

Na rysunku odcinki (AB) i (CD) są równoległe. Wierzchołek (E) leży na przedłużeniu, a punkty (A, B) leżą na odcinkach (EC), (ED) (odpowiednio).

Trójkąty (EAB) i (ECD) są podobne (wspólny kąt przy (E) i (AB\parallel CD)).

Z własności podobieństwa: [\dfrac{|AE|}{|CE|} = \dfrac{|AB|}{|CD|}.] Ponieważ (|CE| = |AE| + |AC| = |AE| + 2), otrzymujemy: [\dfrac{|AE|}{|AE|+2} = \dfrac{5}{7}.] [7|AE| = 5(|AE|+2)] [7|AE| - 5|AE| = 10] [2|AE| = 10] [|AE| = 5.]

Sposób 2 — Twierdzenie Talesa

Proste równoległe (AB\parallel CD) przecinane promieniami z (E) dają proporcje: [\dfrac{|EA|}{|EC|} = \dfrac{|AB|}{|CD|} = \dfrac{5}{7}.] Oznaczając (|EA| = x), mamy (|EC| = x+2) (bo (|AC|=2)): [\dfrac{x}{x+2} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow 7x = 5x+10 \Rightarrow x = 5.]

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\tfrac{10}{7}) — błąd: np. (\tfrac{2\cdot 5}{7}) bez dodania odpowiednich wielkości.
B. (\tfrac{14}{5}) — zamieniono proporcję ((\tfrac{7}{5}) zamiast (\tfrac{5}{7})).
C. (3) — odgadnięcie, nie wynik z proporcji.

Pamiętaj — twierdzenie Talesa: równoległe proste dają proporcjonalne odcinki.

Matura 2012 - Majowa