Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Tożsamość (\cos\beta = \sin(90^{\circ}-\beta))

A. (x=1): LHS (= 3(2-3) = -3); RHS (= 1-4 = -3). ✓
B. (x=2): LHS (= 3(2-6) = -12); RHS (= -2). Nie.
C. (x=3): LHS (= 3(2-9) = -21); RHS (= -1). Nie.
D. (x=4): LHS (= 3(2-12) = -30); RHS (= 0). Nie.

Dla kątów ostrych (\sin\alpha = \cos\beta) wtedy i tylko wtedy, gdy (\alpha = 90^{\circ} - \beta). Stąd: [\sin\alpha = \cos 47^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 47^{\circ}) = \sin 43^{\circ}.] Z iniektywności sinusa na przedziale ((0^{\circ}, 90^{\circ})): (\alpha = 43^{\circ}).

Sposób 2 — Interpretacja w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych (\beta) i (90^{\circ}-\beta): (\sin\beta = \cos(90^{\circ}-\beta)). Tutaj (\cos 47^{\circ} = \sin 43^{\circ}), więc (\alpha=43^{\circ}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (6^{\circ}) — (\sin 6^{\circ}\approx 0{,}105), a (\cos 47^{\circ}\approx 0{,}682). Nie równe.
B. (33^{\circ}) — (\sin 33^{\circ}\approx 0{,}545). Nie równe.
C. (47^{\circ}) — (\sin 47^{\circ}\ne \cos 47^{\circ}) (bo (\sin 47^{\circ}\ne \sin 43^{\circ})).

Trik: Funkcje cofunkcyjne: (\sin\alpha = \cos(90^{\circ}-\alpha)); jeśli chcesz zamienić (\sin) na (\cos) — od (90^{\circ}) odejmij kąt.

Matura 2011 - Sierpniowa