Poprawna odpowiedź: C (\(300 + 50\sqrt{3}\))

Sposób 1 — Wyznaczenie boku i obliczenie pola z definicji

Krok 1: Określ strukturę graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła z dwiema podstawami w kształcie trójkątów równobocznych i trzema prostokątnymi ścianami bocznymi. Krawędzie są:

3 krawędzie dolnej podstawy
3 krawędzie górnej podstawy
3 krawędzie boczne (wysokości)

Łącznie: 9 krawędzi.

Krok 2: Wyznacz długość krawędzi.

Wszystkie krawędzie są równej długości — nazwijmy ją \(a\). Zatem krawędzie boczne mają tę samą długość co krawędzie podstaw, czyli wysokość graniastosłupa wynosi \(h = a\).

\[9a = 90 \implies a = 10\]

Krok 3: Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Pole składa się z:

2 podstawy (trójkąty równoboczne o boku \(a\)): \[P_{\text{podstaw}} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\]
3 ściany boczne (prostokąty o wymiarach \(a \times a\), bo \(h = a\)): \[P_{\text{boczna}} = 3 \cdot a \cdot a = 3a^2\]

Całkowite pole: \[P_c = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a^2\]

Krok 4: Podstaw \(a = 10\). \[P_c = \frac{100\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot 100 = 50\sqrt{3} + 300\]

\[\boxed{P_c = 300 + 50\sqrt{3}}\]

Sposób 2 — Wzory ze stereometrii i weryfikacja

Graniastosłup prawidłowy trójkątny o boku podstawy \(a\) i wysokości \(h = a\):

Pole boczne (obwód podstawy × wysokość): \[P_b = O_b \cdot h = (3a) \cdot a = 3a^2 = 3 \cdot 100 = 300\]

Pole podstawy (trójkąt równoboczny): \[P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\]

Pole całkowite (boczne + dwie podstawy): \[P_c = P_b + 2P_p = 300 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 300 + 50\sqrt{3} \checkmark\]

Wyniki obu sposobów są zgodne.

Wzory z karty CKE

Dział 12 (Stereometria, s. 26–28) — graniastosłup prosty: \[P_b = O_b \cdot h, \quad V = P_p \cdot h\] Użyliśmy wzoru na pole boczne: \(O_b = 3a\), \(h = a\), stąd \(P_b = 3a^2\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15–21) — pole trójkąta równobocznego: \[P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Użyliśmy tego wzoru do obliczenia pola obu trójkątnych podstaw.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A: \(300\)	Policzono tylko 3 ściany boczne (\(3a^2 = 300\)), zapomniano o obu podstawach trójkątnych
B: \(300\sqrt{3}\)	Mylnie potraktowano wszystkie ściany boczne jak trójkąty równoboczne (zamiast prostokątów), albo użyto błędnego wzoru \(3a^2\sqrt{3}\)
D: \(300 + 25\sqrt{3}\)	Policzono pole tylko jednej podstawy trójkątnej (\(25\sqrt{3}\)) zamiast dwóch — klasyczny błąd z pominięciem drugiej podstawy

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Graniastosłup ma dwie podstawy — górną i dolną. Bardzo częsty błąd to policzenie pola tylko jednej i otrzymanie \(300 + 25\sqrt{3}\) (odp. D).

⚠️ Uwaga: W tym graniastosłupie wszystkie krawędzie są równe, więc wysokość bryły \(h = a\), a ściany boczne to kwadraty, nie prostokąty ogólne. Nie myl z graniastosłupem, gdzie \(h \neq a\).

⚠️ Uwaga: Krawędzie graniastosłupa trójkątnego jest 9, nie 12 (to prostopadłościan ma 12). Pomylenie tego prowadziłoby do \(12a = 90 \implies a = 7{,}5\) i błędnego wyniku.

Matura 2011 - Sierpniowa