Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Wyznaczenie kształtu ścian bocznych przez obliczenie krawędzi

Ustawiamy układ współrzędnych. Niech sześcian ma bok \(a\). Przyjmijmy:

\[A=(0,0,0),\quad B=(a,0,0),\quad C=(a,a,0),\quad D=(0,a,0),\quad E=(0,0,a)\]

(E leży dokładnie nad wierzchołkiem A — to standardowe oznaczenie sześcianu ABCDEFGH, gdzie EFGH to górna ściana).

Podstawa ostrosłupa: kwadrat ABCD z bokiem \(a\).
Wierzchołek: \(E\) — leży nad A, krawędź \(EA = a\) (krawędź sześcianu).

Obliczamy krawędzie boczne ostrosłupa:

\[EA = a\] \[EB = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = a\sqrt{2} \quad \text{(przekątna ściany ABFE)}\] \[EC = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3} \quad \text{(przekątna przestrzenna sześcianu)}\] \[ED = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \quad \text{(przekątna ściany ADHE)}\]

Teraz analizujemy każdą ścianę boczną osobno:

Trójkąt EAB (boki: \(EA=a,\ AB=a,\ EB=a\sqrt{2}\)): \[EA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2 = EB^2\] ➜ Twierdzenie Pitagorasa zachodzi → kąt prosty przy \(A\), obie przyprostokątne równe \(a\). Trójkąt prostokątny równoramienny.

Trójkąt EDA (boki: \(ED=a\sqrt{2},\ DA=a,\ EA=a\)): \[EA^2 + DA^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2 = ED^2\] ➜ Kąt prosty przy \(A\), obie przyprostokątne równe \(a\). Trójkąt prostokątny równoramienny (identyczny jak EAB).

Trójkąt EBC (boki: \(EB=a\sqrt{2},\ BC=a,\ EC=a\sqrt{3}\)): \[EB^2 + BC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = (a\sqrt{3})^2 = EC^2\] ➜ Kąt prosty przy \(B\), przyprostokątne \(a\sqrt{2}\) i \(a\). Trójkąt prostokątny różnoramienny (przyprostokątne różne!).

Trójkąt ECD (boki: \(EC=a\sqrt{3},\ CD=a,\ ED=a\sqrt{2}\)): \[ED^2 + DC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = EC^2\] ➜ Kąt prosty przy \(D\), przyprostokątne \(a\sqrt{2}\) i \(a\). Trójkąt prostokątny różnoramienny (identyczny jak EBC).

Podsumowanie ścian bocznych:

Ściana	Typ	Kąt prosty przy	Boki
EAB	prostokątny równoramienny	A	\(a,\ a,\ a\sqrt{2}\)
EDA	prostokątny równoramienny	A	\(a,\ a,\ a\sqrt{2}\)
EBC	prostokątny różnoramienny	B	\(a,\ a\sqrt{2},\ a\sqrt{3}\)
ECD	prostokątny różnoramienny	D	\(a,\ a\sqrt{2},\ a\sqrt{3}\)

Prawidłowa siatka (A) to ta, w której kwadrat \(a\times a\) jest otoczony przez: dwa trójkąty prostokątne równoramienne (przy krótszych bokach kwadratu sąsiadujących z A) i dwa trójkąty prostokątne różnoramienne (przy pozostałych bokach).

Sposób 2 — Weryfikacja przez analizę symetrii sześcianu

Kluczowa obserwacja: wierzchołek E jest nad rogiem A, więc ostrosłup nie jest symetryczny — "lewa-prawa" symetria względem osi przez A–C, ale NIE ma symetrii obrotu o 90°.

Sprawdzamy symetrię ścian parami:

\(EAB \cong EDA\) — bo \(EA\) jest wspólną krawędzią i \(AB=DA=a\) (boki kwadratu) → obydwa przystające.
\(EBC \cong ECD\) — bo \(EB=ED=a\sqrt{2}\) i \(BC=CD=a\) → obydwa przystające.

Zatem siatka musi zawierać dwie różne pary trójkątów, nie cztery jednakowe. To eliminuje siatki B i D, i wskazuje jednoznacznie na siatkę A.

Weryfikacja: Jeśli siatka A jest rozwinięciem, to po złożeniu krawędzie muszą "się zejść": krawędzie \(a\sqrt{2}\) (hipotenuzy trójkątów EAB i EDA) muszą pasować do krawędzi \(a\sqrt{2}\) (krótsze przyprostokątne EBC i ECD). ✓

Wzory z karty CKE

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4–5) — działania na pierwiastkach: \[\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}, \qquad \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}\] Użyte do obliczenia krawędzi bocznych \(EB,\ EC,\ ED\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — Twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2 \iff \text{kąt prosty przy wierzchołku łączącym boki } a \text{ i } b\] Użyte do identyfikacji kąta prostego w każdej ścianie bocznej.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd / Co ta siatka opisuje
B	Cztery trójkąty prostokątne równoramienne — byłoby tak, gdyby E leżało nad środkiem kwadratu, a nie nad jego rogiem. Taki ostrosłup prawidłowy nie da się "wyjąć" z sześcianu.
C	Siatka z nieodpowiednim układem trójkątów — nie pasuje do obliczonych krawędzi; opis sugeruje boki \(a\sqrt{2}\), ale bez właściwego dopasowania do kwadratu.
D	Cztery trójkąty różnoboczne — żadna ze ścian bocznych nie jest różnoboczna; wszystkie mają co najmniej dwa równe boki lub kąt prosty, więc ta siatka jest błędna.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Łatwo mylić sześcian z ostrosłupem prawidłowym. Tutaj wierzchołek E NIE jest nad środkiem podstawy — jest nad rogiem A. To sprawia, że cztery ściany boczne NIE są jednakowe, co zaskakuje uczniów.

⚠️ Uwaga: Przekątna ściany to \(a\sqrt{2}\), przekątna przestrzenna to \(a\sqrt{3}\) — te dwa wyniki są często mylone. Zawsze rysuj trójkąt prostokątny i stosuj Pitagorasa krok po kroku.

⚠️ Uwaga: Siatka musi "domykać" wszystkie krawędzie: każda krawędź boczna ostrosłupa pojawia się w siatce jako krawędź wspólna dwóch sąsiadujących figur. Sprawdź, czy po złożeniu każda para krawędzi tej samej długości pasuje do siebie.

Matura 2011 - Czerwcowa