Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Analiza geometrii ostrosłupa (ABCDE)

Ostrosłup (ABCDE): podstawa to kwadrat (ABCD) (dolna ściana sześcianu o krawędzi (a)), a wierzchołek (E) leży na górnej płaszczyźnie sześcianu bezpośrednio nad (A).

Krawędzie boczne:

(|AE| = a) (pionowa krawędź sześcianu).
(|BE| = \sqrt{|AB|^{2}+|AE|^{2}} = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}).
(|CE| = \sqrt{|AC|^{2}+|AE|^{2}} = \sqrt{(a\sqrt{2})^{2}+a^{2}} = a\sqrt{3}).
(|DE| = a\sqrt{2}) (analogicznie jak (BE)).

Ściany boczne:

(\triangle ABE): prostokątny ((AE\perp AB)), przyprostokątne (a, a), więc bok (BE = a\sqrt{2}).
(\triangle ADE): prostokątny, identyczny jak (\triangle ABE).
(\triangle BCE): boki (a, a\sqrt{2}, a\sqrt{3}) — prostokątny w wierzchołku (B) ((\text{bo } BC\perp AB\text{ oraz } BC\perp AE\Rightarrow BC\perp BE)).
(\triangle CDE): boki (a, a\sqrt{2}, a\sqrt{3}) — analogicznie prostokątny.

Siatka ma: kwadrat + dwa trójkąty prostokątne równoramienne (o przyprostokątnych (a, a)) + dwa trójkąty prostokątne (o bokach (a, a\sqrt{2})).

Wzorcowa siatka (odp. A w arkuszu) pasuje do tego opisu.

Sposób 2 — Eliminacja

Dwa trójkąty prostokątne równoramienne (AE=AB=a, kąt prosty w A): odpowiadają ścianom (ABE) i (ADE).
Dwa trójkąty prostokątne z przyprostokątnymi (a, a\sqrt{2}): odpowiadają ścianom (BCE) i (CDE).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Pozostałe warianty (B, C, D) przedstawiają siatki niezgodne z rzeczywistymi kształtami ścian bocznych wyznaczonego ostrosłupa.

Trik: W tego typu zadaniach oblicz wszystkie krawędzie boczne — wielkość trójkątów w siatce musi im odpowiadać.

Matura 2011 - Czerwcowa