Poprawna odpowiedź: C

\(\left|x+\dfrac{2}{3}\right| \le 4\) jest spełniona dla \(x = \pi\).

Sposób 1 — Podstawienie \(\pi\) do każdej nierówności

Korzystamy z przybliżenia \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\) i sprawdzamy każdą opcję bezpośrednio.

Opcja A: \(|x + 1| > 5\) \[|\pi + 1| = |4{,}14\ldots| \approx 4{,}14\] \[4{,}14 > 5 \quad \text{— FAŁSZ} \quad ✗\]

Opcja B: \(|x - 1| < 2\) \[|\pi - 1| = |2{,}14\ldots| \approx 2{,}14\] \[2{,}14 < 2 \quad \text{— FAŁSZ} \quad ✗\]

Opcja C: \(\left|x + \dfrac{2}{3}\right| \le 4\) \[\left|\pi + \frac{2}{3}\right| \approx |3{,}1416 + 0{,}6667| \approx 3{,}808\] \[3{,}808 \le 4 \quad \text{— PRAWDA} \quad ✓\]

Opcja D: \(\left|x - \dfrac{1}{3}\right| \ge 3\) \[\left|\pi - \frac{1}{3}\right| \approx |3{,}1416 - 0{,}3333| \approx 2{,}808\] \[2{,}808 \ge 3 \quad \text{— FAŁSZ} \quad ✗\]

Wynik: jedyna nierówność spełniona przez \(\pi\) to C.

Sposób 2 — Wyznaczenie zbiorów rozwiązań i sprawdzenie, czy \(\pi\) należy

Zamiast podstawiać, rozwiązujemy każdą nierówność algebraicznie i sprawdzamy, czy \(\pi\) leży w otrzymanym zbiorze.

Korzystamy z zasady: \(|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r\) (i analogicznie dla \(\ge\), \(<\), \(>\)).

Opcja A: \(|x + 1| > 5\), czyli \(|x - (-1)| > 5\) \[x < -1 - 5 = -6 \quad \text{lub} \quad x > -1 + 5 = 4\] Zbiór: \((-\infty, -6) \cup (4, +\infty)\). Czy \(\pi \approx 3{,}14 \in (-\infty, -6) \cup (4, +\infty)\)? Nie. ✗

Opcja B: \(|x - 1| < 2\) \[1 - 2 < x < 1 + 2 \implies -1 < x < 3\] Zbiór: \((-1, 3)\). Czy \(\pi \approx 3{,}14 \in (-1, 3)\)? Nie (\(\pi > 3\)). ✗

Opcja C: \(\left|x + \dfrac{2}{3}\right| \le 4\), czyli \(\left|x - \left(-\dfrac{2}{3}\right)\right| \le 4\) \[-\frac{2}{3} - 4 \le x \le -\frac{2}{3} + 4\] \[-\frac{14}{3} \le x \le \frac{10}{3}\]

Sprawdzamy, czy \(\pi \le \dfrac{10}{3}\): \[\frac{10}{3} = 3{,}\overline{3} \approx 3{,}333\ldots > 3{,}1416\ldots = \pi \quad ✓\]

Tak, \(\pi \in \left\langle -\dfrac{14}{3},\ \dfrac{10}{3} \right\rangle\). ✓

Opcja D: \(\left|x - \dfrac{1}{3}\right| \ge 3\) \[x \le \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} \quad \text{lub} \quad x \ge \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}\] Zbiór: \(\left(-\infty, -\dfrac{8}{3}\right\rangle \cup \left\langle\dfrac{10}{3}, +\infty\right)\). Czy \(\pi \ge \dfrac{10}{3}\)? \(\pi \approx 3{,}14 < 3{,}33 = \dfrac{10}{3}\). Nie. ✗

Wzory z karty CKE

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) — nierówności z wartością bezwzględną: \[|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r\] \[|x - a| \geq r \iff x \leq a - r \quad \text{lub} \quad x \geq a + r\]

Użyliśmy tych wzorów w Sposób 2 do zamiany każdej nierówności z \(|\cdot|\) na równoważną nierówność liniową (lub alternatywę nierówności).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	Uczeń może sądzić, że \(\pi > 4\), bo „\(\pi\) jest duże" — tymczasem \(\pi \approx 3{,}14 < 4 < 5\), więc \(\|\pi + 1\| \approx 4{,}14 \not> 5\)
B	Uczeń myli \(\pi \approx 3{,}14\) z \(3\) i zakłada, że \(\pi < 3\), więc mieści się w \((-1, 3)\) — ale \(\pi > 3\) i wykracza poza ten przedział
D	Kluczowy jest próg \(\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\); uczeń może mylnie uznać, że \(\pi > \dfrac{10}{3}\), bo „\(\pi \approx 3{,}14\) jest bliskie \(3{,}33\)" — ale \(3{,}14 < 3{,}33\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \(\pi \approx 3{,}14159\), a nie \(3{,}14\) zaokrąglone „w górę". Kluczowe w tym zadaniu jest porównanie \(\pi\) z \(\dfrac{10}{3} \approx 3{,}333\) — ta różnica decyduje o odpowiedziach C i D.

⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu \(|x + a| \le r\) pamiętaj, że centrum przedziału to \(-a\), nie \(+a\). Pomyłka ze znakiem przy „przepisywaniu" warunku to najczęstszy błąd.

⚠️ Uwaga: Nierówność \(|x - 1| < 2\) daje przedział otwarty \((-1, 3)\) — \(\pi\) leży tuż poza jego prawym krańcem (\(\pi \approx 3{,}14 > 3\)). Nie daj się zmylić bliskości wartości!

Matura 2011 - Majowa