Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej

Co wiemy ze zbioru wartości \((-\infty, 3\rangle\)?

Zbiór wartości funkcji kwadratowej to zawsze przedział postaci:

\(\langle q, +\infty)\) — gdy parabola jest skierowana ramionami w górę (otwarta ku górze)
\((-\infty, q\rangle\) — gdy parabola jest skierowana ramionami w dół (otwarta ku dołowi)

gdzie \(q\) to rzędna wierzchołka paraboli.

Krok 1 — kierunek ramion

Zbiór wartości to \((-\infty, 3\rangle\), czyli funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do 3 włącznie.

Maksimum funkcji wynosi \(3\) — a maksimum istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana ramionami w dół (współczynnik \(a < 0\)).

\[\text{ZW} = (-\infty, 3\rangle \implies a < 0\]

Krok 2 — rzędna wierzchołka

Maksymalna wartość funkcji to właśnie rzędna wierzchołka: \[q = 3\]

Wierzchołek paraboli leży na prostej \(y = 3\).

Krok 3 — identyfikacja wykresu

Szukamy paraboli, która:

jest skierowana ramionami w dół,
ma wierzchołek na wysokości \(y = 3\).

To właśnie wykres A.

Sposób 2 — Eliminacja przez własności zbioru wartości

Sprawdzamy każdy wykres pod kątem jego zbioru wartości:

Wykres B — parabola skierowana ramionami w górę: zbiór wartości to \(\langle q, +\infty)\) dla pewnego \(q\). Nie może być \((-\infty, 3\rangle\). ✗

Wykres C — parabola skierowana ramionami w dół, ale wierzchołek leży poniżej \(y = 3\) (np. \(q = 1\) lub \(q = 2\)): zbiór wartości byłby \((-\infty, q\rangle\) dla \(q \neq 3\). ✗

Wykres D — parabola skierowana ramionami w górę: zbiór wartości to \(\langle q, +\infty)\). ✗

Wykres A — parabola skierowana ramionami w dół, wierzchołek na wysokości \(y = 3\): zbiór wartości to dokładnie \((-\infty, 3\rangle\). ✓

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–9) — postać kanoniczna i wierzchołek: \[f(x) = a(x - p)^2 + q, \quad W = (p, q)\] Rzędna wierzchołka \(q\) to maksimum funkcji (gdy \(a < 0\)) lub minimum (gdy \(a > 0\)).

Kluczowe zależności:

\(a > 0\) → ramiona w górę → zbiór wartości \(\langle q, +\infty)\)
\(a < 0\) → ramiona w dół → zbiór wartości \((-\infty, q\rangle\)

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
B	Parabola skierowana ramionami w górę (\(a > 0\)) — zbiór wartości miałby postać \(\langle q, +\infty)\), a nie \((-\infty, 3\rangle\)
C	Parabola skierowana ramionami w dół, ale wierzchołek nie leży na \(y = 3\) — zbiór wartości byłby \((-\infty, q\rangle\) dla \(q \neq 3\)
D	Parabola skierowana ramionami w górę (\(a > 0\)) — ten sam błąd co w B

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Przedział \((-\infty, 3\rangle\) jest domknięty od prawej (nawias \(\rangle\)) — to znaczy, że \(3\) jest osiągane. Gdyby było \((-\infty, 3)\) (otwarty), wierzchołek byłby asymptotą — ale funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum, więc zawsze piszemy nawias domknięty.

⚠️ Uwaga: Nie myl dziedziny ze zbiorem wartości. Funkcja kwadratowa ma dziedzinę \(\mathbb{R}\) — pytanie dotyczy wyłącznie zbioru wartości (czyli jakie \(y\) funkcja przyjmuje).

⚠️ Uwaga: Sam wierzchołek w górze lub dole paraboli NIE wystarczy — musisz sprawdzić obie cechy: kierunek ramion (\(a < 0\)) oraz rzędną wierzchołka (\(q = 3\)). Pomylenie jednej z nich prowadzi do wyboru złego wykresu.

Matura 2010 - Sierpniowa