Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Metoda poziomej prostej (graficzna)

Kluczowa zasada: Równanie \(f(x) = k\) ma tyle rozwiązań, ile razy pozioma prosta \(y = k\) przecina wykres funkcji \(y = f(x)\).

Analogicznie, równanie \(f(x) = g(x)\) ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych mają wykresy \(y = f(x)\) i \(y = g(x)\).

Co robimy:

Dla każdej z odpowiedzi A, B, C, D — rysujemy (myślowo) odpowiednią poziomą prostą \(y = k\) na wykresie.
Liczymy, ile razy ta prosta przecina wykres \(f(x)\).

Analiza odpowiedzi:

Patrząc na wykres funkcji \(y = f(x)\), który ma charakterystyczny kształt — kilka lokalnych ekstremów (zagięć) — poziome proste na różnych wysokościach przecinają go różną liczbę razy:

Prosta odpowiedzi A — przecina wykres w innej liczbie punktów niż 3.
Prosta odpowiedzi B — przecina wykres w innej liczbie punktów niż 3.
Prosta odpowiedzi C — przecina wykres dokładnie w 3 punktach ✓
Prosta odpowiedzi D — przecina wykres w innej liczbie punktów niż 3.

Wniosek: Odpowiedź C to jedyna, dla której pozioma prosta tnie wykres \(f(x)\) dokładnie trzy razy, a więc równanie ma dokładnie 3 rozwiązania.

Sposób 2 — Analiza przez ekstrema lokalne

Wykres \(f(x)\) posiada lokalne minimum i lokalne maksimum. To właśnie wartości ekstremalne decydują, ile rozwiązań ma równanie \(f(x) = k\):

Położenie prostej \(y = k\)	Liczba rozwiązań
Poniżej minimum lokalnego	1
Dokładnie na poziomie minimum lokalnego	2 (tangencjalnie)
Między minimum a maksimum	3
Dokładnie na poziomie maksimum lokalnego	2 (tangencjalnie)
Powyżej maksimum lokalnego	1

(Dokładne liczby zależą od kształtu wykresu — tu opisuję typowy przypadek funkcji z jednym minimum i jednym maksimum lokalnym na przedziale, ale kształt może być bardziej złożony.)

Kluczowy wniosek: Prosta \(y = k\) daje dokładnie 3 przecięcia wtedy, gdy \(k\) leży między wartością minimum lokalnego a wartością maksimum lokalnego. Odpowiedź C spełnia właśnie ten warunek.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy graficzny odczyt wykresu i liczenie punktów przecięcia z poziomą prostą. Żadna kalkulacja algebraiczna nie jest potrzebna.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do złej odpowiedzi
A	Pozioma prosta \(y = k_A\) przecina wykres w 1 lub 2 punktach — uczeń mógł źle odczytać liczbę przecięć, licząc tylko "grube" przecięcia i pomijając niewyraźne
B	Prosta \(y = k_B\) przecina wykres 2 lub 4 razy — uczeń mógł pomylić "styczne" (tangencjalne dotknięcia) z dwoma oddzielnymi przecięciami
D	Prosta \(y = k_D\) przecina wykres 1 lub 4 razy — uczeń mógł nie dostrzec, że prosta leży poniżej minimum lub powyżej maksimum

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić punkt, w którym prosta jest styczna do wykresu (dotyka go, ale nie przecina) z dwoma oddzielnymi przecięciami. Styczne dotknięcie to jedno rozwiązanie (podwójne), nie dwa!

⚠️ Uwaga: Liczenie przecięć wymaga dokładnego śledzenia całego wykresu — od lewej do prawej. Pominięcie jednej gałęzi wykresu to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

⚠️ Uwaga: Jeśli wykres ma kilka lokalnych ekstremów, pozioma prosta może przecinać go np. 1, 2, 3, 4, 5 razy — zawsze sprawdzaj wszystkie odpowiedzi, zanim wybierzesz właściwą!

Matura 2010 - Majowa