Poprawna odpowiedź: B

Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu i badamy jego własności.

Sposób 1 — Obliczenie wyrazów i analiza własności

Wyznaczamy pierwsze wyrazy ciągu \(a_n = (-1)^n \cdot (3-n)\):

\[ a_1 = (-1)^1 \cdot (3-1) = (-1) \cdot 2 = -2 \] \[ a_2 = (-1)^2 \cdot (3-2) = 1 \cdot 1 = 1 \] \[ a_3 = (-1)^3 \cdot (3-3) = (-1) \cdot 0 = 0 \] \[ a_4 = (-1)^4 \cdot (3-4) = 1 \cdot (-1) = -1 \] \[ a_5 = (-1)^5 \cdot (3-5) = (-1) \cdot (-2) = 2 \] \[ a_6 = (-1)^6 \cdot (3-6) = 1 \cdot (-3) = -3 \]

Ciąg wygląda tak: \(-2,\ 1,\ 0,\ -1,\ 2,\ -3,\ 4,\ \ldots\)

Kluczowa obserwacja: \(\boldsymbol{a_3 = 0}\) — trzeci wyraz ciągu jest równy zero.

Sprawdzamy własności:

Arytmetyczny? Różnice: \(1-(-2)=3\), \(0-1=-1\) — różne. NIE.
Geometryczny? Ilorazy: \(\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{0}{1} = 0\) — różne (i nie można dzielić przez 0). NIE.
Monotoniczny? \(a_1 < a_2 > a_3 < a_4 < a_5 > a_6\) — ciąg raz rośnie, raz maleje. NIE.
Zawiera wyraz równy zero? Tak: \(a_3 = 0\). TAK.

Odpowiedź B jest prawdziwa (np. "w ciągu istnieje wyraz równy \(0\)" lub konkretna własność wskazana w treści zadania).

Sposób 2 — Analiza ogólna wzoru (algebraicznie)

Wzór \(a_n = (-1)^n \cdot (3-n)\) składa się z dwóch czynników:

\((-1)^n\) — naprzemiennie \(+1\) (dla \(n\) parzystego) lub \(-1\) (dla \(n\) nieparzystego)
\((3-n)\) — wyrażenie liniowe: dla \(n < 3\) jest dodatnie, dla \(n = 3\) wynosi zero, dla \(n > 3\) jest ujemne

Kiedy \(a_n = 0\)? \[ (-1)^n \cdot (3-n) = 0 \iff 3-n = 0 \iff n = 3 \] Ponieważ \((-1)^n \neq 0\) dla żadnego \(n\), jedynym zerem jest \(a_3 = 0\). ✓

Kiedy \(a_n > 0\)? Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak:

\(n\) parzyste i \(3-n < 0\), czyli \(n\) parzyste i \(n > 3\): \(n \in \{4, 6, 8, \ldots\}\) — czekaj: \(n=4\): \(1 \cdot(-1) = -1 < 0\). Sprawdźmy: \(n=4\) parzyste, \(3-4=-1 < 0\), więc \((+1)\cdot(-1) = -1\). Ujemne.
\(n\) nieparzyste i \(3-n > 0\), czyli \(n < 3\) i nieparzyste: tylko \(n=1\): \((-1)\cdot 2 = -2 < 0\). Ujemne.

Hmm, ponowna analiza znaków:

\(n\)	parz./nieparz.	\((-1)^n\)	\(3-n\)	\(a_n\)
1	nieparz.	\(-1\)	\(+2\)	\(-2\)
2	parz.	\(+1\)	\(+1\)	\(+1\)
3	nieparz.	\(-1\)	\(0\)	\(0\)
4	parz.	\(+1\)	\(-1\)	\(-1\)
5	nieparz.	\(-1\)	\(-2\)	\(+2\)
6	parz.	\(+1\)	\(-3\)	\(-3\)

Ciąg zmienia znak nieregularnie — nie jest monotoniczny, wartości rosną nieograniczenie co do modułu. Jedynym zerem jest \(a_3\).

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy podstawianie wartości \(n\) do wzoru ogólnego i znajomość działań arytmetycznych. Definicje ciągu arytmetycznego i geometrycznego (Dział 8, s. 9–10) przydają się do sprawdzenia, czy ciąg jest jednym z tych typów (sprawdzamy stałość różnic lub ilorazów).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Możliwa treść	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	Ciąg jest arytmetyczny	Liczenie tylko \(a_2 - a_1 = 3\), bez sprawdzenia \(a_3 - a_2 = -1 \neq 3\)
C	Ciąg jest rosnący	Patrzenie tylko na \(a_1 < a_2\) bez dalszych wyrazów
D	Ciąg jest geometryczny	Próba \(\frac{a_2}{a_1} = -\frac{1}{2}\), ale \(\frac{a_3}{a_2} = 0 \neq -\frac{1}{2}\); dzielenie przez zero przy \(a_3=0\)

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Nie sprawdzaj tylko pierwszych dwóch wyrazów — ciąg może wyglądać "dobrze" dla \(n=1,2\), a potem zupełnie zmienić charakter (tu różnica \(a_2 - a_1 = 3\), ale \(a_3 - a_2 = -1\)).

⚠️ Uwaga: Czynnik \((-1)^n\) zmienia znak co wyraz — to "niespodziewany" przełącznik. Dla \(n\) nieparzystego wyraz jest ujemny · coś, a nie po prostu "coś".

⚠️ Uwaga: Nie pomyl \(a_n = 0\) z brakiem sensu ciągu — zero to pełnoprawna wartość wyrazu! Właśnie \(n=3\) zeruje czynnik \((3-n)\), niezależnie od \((-1)^n\).

Matura 2009 - Majowa