Poprawna odpowiedź: A — \(-\dfrac{11}{23}\)

Sposób 1 — Podziel licznik i mianownik przez \(\cos\alpha\)

Mamy \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}\) i chcemy obliczyć wyrażenie: \[\frac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha}\]

Kluczowa obserwacja: dzielimy licznik i mianownik przez \(\cos\alpha \neq 0\) (bo \(\alpha\) jest kątem ostrym). Dzięki temu pojawi się \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), którego wartość znamy!

\[\frac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha} = \frac{\dfrac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{3 - 2\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5}\]

Podstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5}\):

\[= \frac{3 - 2 \cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{2}{5} - 5} = \frac{3 - \dfrac{4}{5}}{\dfrac{2}{5} - \dfrac{25}{5}} = \frac{\dfrac{15}{5} - \dfrac{4}{5}}{\dfrac{2-25}{5}} = \frac{\dfrac{11}{5}}{-\dfrac{23}{5}}\]

\[\boxed{= \frac{11}{5} \cdot \left(-\frac{5}{23}\right) = -\frac{11}{23}}\]

Sposób 2 — Wyznacz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\) jawnie (z trójkąta prostokątnego)

Jeśli \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5}\), możemy wyobrazić sobie trójkąt prostokątny:

przyprostokątna naprzeciwległa do \(\alpha\): \(2\)
przyprostokątna przyległa do \(\alpha\): \(5\)
przeciwprostokątna: \(\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\)

Stąd: \[\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}, \qquad \cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}\]

Podstawiamy do wyrażenia:

Licznik: \[3\cos\alpha - 2\sin\alpha = 3 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{15 - 4}{\sqrt{29}} = \frac{11}{\sqrt{29}}\]

Mianownik: \[\sin\alpha - 5\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}} - 5 \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{2 - 25}{\sqrt{29}} = \frac{-23}{\sqrt{29}}\]

Wynik: \[\frac{\dfrac{11}{\sqrt{29}}}{\dfrac{-23}{\sqrt{29}}} = \frac{11}{-23} = \boxed{-\frac{11}{23}}\]

Obydwa sposoby dają ten sam wynik. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — definicja tangensa i jedynka trygonometryczna: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

W Sposobie 1 bezpośrednio korzystamy z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) po podzieleniu przez \(\cos\alpha\).

W Sposobie 2 korzystamy z tw. Pitagorasa do wyznaczenia przeciwprostokątnej, co jest równoważne jedynce trygonometrycznej: skoro \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}\), to proporcja boków \(2 : 5 : \sqrt{29}\) jest poprawna.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
B \(\dfrac{24}{5}\)	Uczeń myli \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) z \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) i podstawia \(\cos\alpha = \dfrac{2}{5}\), \(\sin\alpha = \dfrac{5}{2}\) — wartości, które w ogóle nie mogą być sinus/cosinus kąta ostrego
C \(-\dfrac{23}{11}\)	Odwrócenie ułamka — uczeń zamienił miejscami licznik i mianownik, wyliczając \(\dfrac{\sin\alpha - 5\cos\alpha}{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}\)
D \(\dfrac{5}{24}\)	Pominięcie znaku minus przy dzieleniu przez \(\cos\alpha\) lub błędne podzielenie — wynik jest wartością bezwzględną lub wynikiem z błędnym znakiem mianownika

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Nie próbuj wyznaczać \(\alpha\) (np. przez kalkulator). To strata czasu — zadanie jest skonstruowane tak, żeby \(\sqrt{29}\) samo się skróciło!

⚠️ Uwaga: Dzieląc przez \(\cos\alpha\), musisz podzielić oba wyrazy w liczniku i oba wyrazy w mianowniku. Pomijanie jednego wyrazu to najczęstszy błąd rachunkowy.

⚠️ Uwaga: Sprawdź znak mianownika! \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5} < 1 < 5\), więc \(\sin\alpha - 5\cos\alpha < 0\) — wynik musi być ujemny. Jeśli wychodzi Ci coś dodatniego, szukaj błędu!

Matura 2014 - Majowa