Poprawna odpowiedź: A — \(\frac{5}{14}\)

Sposób 1 — Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Schemat doświadczenia:

Mamy dwa zdarzenia wykluczające się, które "kierują" nas do urny:

\(B_1\) = "wypadła reszka" (losujemy z urny 1), \(P(B_1) = \frac{1}{2}\)
\(B_2\) = "wypadł orzeł" (losujemy z urny 2), \(P(B_2) = \frac{1}{2}\)

Prawdopodobieństwa warunkowe wylosowania białej kuli:

\[P(A \mid B_1) = \frac{1}{7} \quad \text{(1 biała spośród 7 kul w urnie 1)}\]

\[P(A \mid B_2) = \frac{4}{7} \quad \text{(4 białe spośród 7 kul w urnie 2)}\]

Stosujemy twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:

\[P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + P(A \mid B_2) \cdot P(B_2)\]

\[P(A) = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2}\]

\[P(A) = \frac{1}{14} + \frac{4}{14} = \boxed{\frac{5}{14}}\]

Sposób 2 — Metoda drzewa zdarzeń (rozpisanie przypadków)

Wyobraź sobie pełne drzewo możliwości:

Ścieżka	Prawdopodobieństwo
Reszka → biała z urny 1	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{14}\)
Reszka → czarna z urny 1	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{14}\)
Orzeł → biała z urny 2	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{14}\)
Orzeł → czarna z urny 2	\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14}\)

Sprawdzenie: Suma wszystkich gałęzi \(= \frac{1+6+4+3}{14} = \frac{14}{14} = 1\) ✓

Zdarzenie "biała kula" zachodzi na dwóch ścieżkach:

\[P(\text{biała}) = \frac{1}{14} + \frac{4}{14} = \frac{5}{14}\]

Wzory z karty CKE

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29–30) — Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym: \[P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + P(A \mid B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A \mid B_n) \cdot P(B_n)\] Użyliśmy go dla \(n = 2\) (dwie urny, dwie gałęzie monety). To jest dokładnie wzór z karty — warto mieć go przed oczami na egzaminie.

Dział 14 — Prawdopodobieństwo warunkowe: \[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\] Tutaj korzystaliśmy z tego pojęcia intuicyjnie: "prawdopodobieństwo białej, wiedząc, że jesteśmy w urnie 1 (lub 2)".

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
B	Dodanie prawdopodobieństw bez ważenia monetą: \(\frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{5}{7}\) — zapomnienie, że każda ścieżka ma wagę \(\frac{1}{2}\)
C	Wzięcie tylko jednej urny (np. tylko urny 2): \(\frac{4}{7}\), albo uśrednienie "na oko" \(\frac{1}{2}\)
D	Np. policzenie \(\frac{1+4}{7+7} = \frac{5}{14}\)... to akurat daje dobry wynik, ale tylko przypadkowo — bo obie urny mają tyle samo kul i moneta jest symetryczna. W ogólnym przypadku taki skrót jest błędny!

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie mnożenia przez \(P(B_1) = \frac{1}{2}\) — uczniowie piszą \(\frac{1}{7} + \frac{4}{7}\) zamiast \(\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2}\). Moneta "waży" każdą urnę — bez niej liczymy tak, jakbyśmy na pewno użyli obu urn naraz.

⚠️ Uwaga: Schemat "moneta → urna → kula" to klasyczny schemat zdarzeń zależnych. Zawsze rysuj drzewo — pomaga uniknąć pominięcia gałęzi.

⚠️ Uwaga: Skrót \(\frac{\text{suma białych}}{\text{suma wszystkich}}\) zadziałał tu przypadkowo (bo obie urny mają po 7 kul i moneta jest sprawiedliwa). Gdyby urny miały różną liczbę kul lub moneta była niesymetryczna — ten skrót dałby zły wynik!

Matura 2022 - Majowa