Sposób 1. (wzór na sinus różnicy kątów)

Z karty wzorów (dział IX Trygonometria): (\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta).

Krok 1. Wyznaczamy (\sin\beta). Z tożsamości (\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1): (\sin^2\beta = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}), więc (\sin\beta = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}).

Ponieważ (\beta \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)) (III ćwiartka), to (\sin\beta < 0), zatem (\sin\beta = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}).

Krok 2. Znamy wartości dla (\dfrac{\pi}{3}): (\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}), (\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}).

Krok 3. Stosujemy wzór: (\sin\left(\beta - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\beta\cos\dfrac{\pi}{3} - \cos\beta\sin\dfrac{\pi}{3})

(= -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2})

(= -\dfrac{2\sqrt{2}}{6} + \dfrac{\sqrt{3}}{6} = \dfrac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}).

Sposób 2. (sprowadzenie do kąta ostrego)

Niech (\beta = \pi + \gamma), gdzie (\gamma \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)). Wtedy (\cos\beta = -\cos\gamma = -\dfrac{1}{3}), czyli (\cos\gamma = \dfrac{1}{3}) i (\sin\gamma = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}).

(\sin\left(\beta - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi + \gamma - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\gamma - \dfrac{\pi}{3}\right))

(= -\left(\sin\gamma\cos\dfrac{\pi}{3} - \cos\gamma\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = -\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right))

(= -\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6} = \dfrac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}).

Trik: Ustalenie znaku sinusa wymaga uwzględnienia ćwiartki! III ćwiartka to ujemny sin i ujemny cos. Zawsze rysuj okrąg trygonometryczny przy zadaniach z przedziałami.

Uwagi o punktacji

(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A. 0 pkt inaczej.

Matura 2022 - Majowa