Poprawna odpowiedź: C

Funkcja \(f\) to \(f(x) = \dfrac{\sin x}{|\sin x|}\) (czyli symbol znaku funkcji sinus: \(\operatorname{sgn}(\sin x)\)).

Sposób 1 — Analiza właściwości wykresu

Krok 1: Co widzimy na wykresie?

Wykres pokazuje funkcję, która:

przyjmuje wyłącznie dwie wartości: \(1\) lub \(-1\),
jest nieokreślona w punktach \(x = k\pi\) dla \(k \in \mathbb{Z}\) (puste kółka),
ma okres \(T = 2\pi\),
na przedziale \((0, \pi)\) przyjmuje wartość \(1\),
na przedziale \((\pi, 2\pi)\) przyjmuje wartość \(-1\).

Krok 2: Skojarzenie z funkcją sinus

Funkcja \(\sin x\):

jest dodatnia dla \(x \in (0, \pi)\) — tam \(f(x) = 1\), ✓
jest ujemna dla \(x \in (\pi, 2\pi)\) — tam \(f(x) = -1\), ✓
zeruje się w punktach \(x = k\pi\) — tam wykres ma puste kółka (brak wartości), ✓

Krok 3: Wzór funkcji

Funkcja, która dla \(\sin x \neq 0\) daje znak wartości sinusa, to: \[ f(x) = \frac{\sin x}{|\sin x|} \]

Sprawdzamy:

gdy \(\sin x > 0\): \(\dfrac{\sin x}{|\sin x|} = \dfrac{\sin x}{\sin x} = 1\) ✓
gdy \(\sin x < 0\): \(\dfrac{\sin x}{|\sin x|} = \dfrac{\sin x}{-\sin x} = -1\) ✓
gdy \(\sin x = 0\): wyrażenie nieokreślone (dzielenie przez 0) ✓

Sposób 2 — Eliminacja przez kluczowe własności

Zamiast od razu identyfikować wzór, sprawdzamy kolejno cechy wykresu i eliminujemy kandydatów.

Cecha 1: Funkcja przyjmuje tylko wartości \(\pm 1\)

Każdy wzór zawierający sam \(\sin x\) lub \(\cos x\) przyjmuje wartości w \([-1, 1]\) w sposób ciągły — odpada.
Wzór zawierający \(|\sin x|\) daje tylko wartości nieujemne — odpada (bo wykres przyjmuje \(-1\)).

Cecha 2: Nieokreśloność w punktach \(k\pi\)

Dzielenie przez \(|\sin x|\) powoduje lukę właśnie tam, gdzie \(\sin x = 0\), czyli w \(x = k\pi\) — pasuje do wykresu.

Cecha 3: Weryfikacja okresu i fazy

Na \((0, \pi)\) sinus jest dodatni → \(f(x) = 1\) ✓
Na \((-\pi, 0)\) sinus jest ujemny → \(f(x) = -1\) ✓
Wzór \(\dfrac{\cos x}{|\cos x|}\) dałby nieokreśloność w \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), a nie w \(k\pi\) — nie pasuje.

Wniosek: Jedynym wzorem zgodnym ze wszystkimi własnościami wykresu jest: \[ \boxed{f(x) = \frac{\sin x}{|\sin x|}} \]

Wzory z karty CKE

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) — definicja: \[|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}\] Użyliśmy tego do rozumienia, co daje \(\dfrac{\sin x}{|\sin x|}\) — mianownik to \(|\sin x|\).

Własność kluczowa: \[\frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & \text{gdy } x > 0 \\ -1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}\] To jest dosłownie wzór wykresu z zadania, z \(x = \sin t\).

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–14) — znaki funkcji sinus w zależności od przedziału: \[\sin x > 0 \iff x \in (2k\pi,\, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}\] \[\sin x < 0 \iff x \in ((2k-1)\pi,\, 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}\] Użyliśmy tego do weryfikacji, kiedy \(f(x) = 1\), a kiedy \(f(x) = -1\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Typowe wzory w opcjach tego zadania i typowe błędy:

Odp.	Wzór	Błąd w rozumowaniu
A	\(f(x) = \sin x\)	Sinus przyjmuje wartości z \([-1,1]\) w sposób ciągły — wykres nie jest „schodkowy", nie ma skoku między \(-1\) a \(1\)
B	\(f(x) = \dfrac{\cos x}{\lvert \cos x \rvert}\)	Nieokreśloność byłaby w \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), a nie w \(x = k\pi\); na \((0, \pi)\) cosinus zmienia znak (w \(\frac{\pi}{2}\)), więc funkcja nie byłaby stała
D	\(f(x) = \lvert \sin x \rvert\)	Ta funkcja przyjmuje tylko wartości z \([0, 1]\), nigdy \(-1\) — nie odpowiada wykresowi

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \(\dfrac{\sin x}{|\sin x|}\) z \(\dfrac{\cos x}{|\cos x|}\) — różnią się fazą (przesunięciem punktów nieciągłości o \(\frac{\pi}{2}\)). Sprawdzaj, gdzie funkcja ma puste kółka (nieokreśloność)!

⚠️ Uwaga: Wykres funkcji \(|\sin x|\) jest zawsze nieujemny i wygląda jak „odbite" łuki — nie myl go z funkcją skokową \(\pm 1\).

⚠️ Uwaga: Funkcja \(\dfrac{\sin x}{|\sin x|}\) nie jest ciągła — ma nieusuwalne nieciągłości w każdym \(x = k\pi\). To jest cecha, nie błąd — potwierdza ją brak wypełnionych punktów na wykresie.

Matura 2021 - Majowa