Poprawna odpowiedź: C — \(\langle -4, 3\rangle\)

Sposób 1 — Analiza wartości osiąganych przez każdy odcinek łamanej

Łamana składa się z dwóch odcinków. Analizujemy je osobno.

Odcinek 1: od \((-5,\, 0)\) z otwartym kółkiem do \((-3,\, -4)\)

Funkcja maleje liniowo od \(y = 0\) do \(y = -4\).

\(y = -4\) jest osiągane (punkt \((-3, -4)\) jest zawarty)
\(y = 0\) jest nieosigane (otwarte kółko przy \((-5, 0)\))

Zbiór wartości tego odcinka: \(\langle -4,\, 0)\)

Odcinek 2: od \((-3,\, -4)\) do \((4,\, 3)\) z zamkniętym kółkiem

Funkcja rośnie liniowo od \(y = -4\) do \(y = 3\).

\(y = -4\) jest osiągane (wspólny punkt z odcinkiem 1)
\(y = 3\) jest osiągane (zamknięte kółko przy \((4, 3)\))

Zbiór wartości tego odcinka: \(\langle -4,\, 3\rangle\)

Łączymy oba zbiory: \[\langle -4,\, 0) \cup \langle -4,\, 3\rangle = \langle -4,\, 3\rangle\]

Kluczowa obserwacja: drugi odcinek przechodzi przez \(y = 0\) (bo idzie od \(-4\) do \(3\)), więc wartość \(y = 0\) i tak zostaje osiągnięta — brak otwartego kółka przy \((-5, 0)\) nie "wyrywa dziury" ze zbioru wartości.

Zbiór wartości funkcji \(f\) to \(\langle -4, 3\rangle\).

Sposób 2 — Weryfikacja przez odczyt minimum i maksimum

Zbiór wartości funkcji = \([\min f,\, \max f]\) (z uwzględnieniem otwartości krańców).

Minimum: najniższy punkt wykresu to \((-3, -4)\) — zwykły punkt łamanej (bez kółka), więc \(y = -4\) jest osiągane. Granica dolna: domknięta przy \(-4\).
Maksimum: najwyższy punkt to \((4, 3)\) — zamknięte kółko, więc \(y = 3\) jest osiągane. Granica górna: domknięta przy \(3\).
Sprawdzamy, czy nie ma "dziury" wewnątrz przedziału \(\langle -4, 3\rangle\): łamana jest ciągła na każdym odcinku i oba odcinki razem pokrywają cały przedział wartości bez przerw.

Wynik: \(\langle -4, 3\rangle\) — odpowiedź C.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu (minimum, maksimum, otwartość krańców).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	\((-5, 4\rangle\) — uczeń odczytał zakres osi \(x\) (od \(-5\) do \(4\)) zamiast wartości na osi \(y\). Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości.
B	\((-4, 3)\) — uczeń poprawnie odczytał kresy \(-4\) i \(3\), ale błędnie uznał oba za nieosigane (otwarte). W rzeczywistości zarówno \(-4\) (wierzchołek łamanej), jak i \(3\) (zamknięte kółko) są osiągane.
D	\((0, 3\rangle\) — uczeń pominął ujemne wartości funkcji i przyjął, że zakres zaczyna się od \(0\). Być może skupił się tylko na jednym odcinku lub zignorował odcinek opadający.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Otwarte kółko przy \((-5, 0)\) dotyczy punktu na osi \(x\), ale wartość \(y = 0\) i tak pojawia się w zbiorze wartości — bo drugi odcinek przechodzi przez \(y = 0\) (idąc od \(-4\) do \(3\)). Nie wolno usuwać \(0\) ze zbioru wartości tylko dlatego, że jeden punkt jest "otwarty"!

⚠️ Uwaga: Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości to jeden z najczęstszych błędów. Dziedzina to wartości \(x\) (tu: od \(-5\) do \(4\)), zbiór wartości to wartości \(y\) (tu: od \(-4\) do \(3\)).

⚠️ Uwaga: Zamknięte/otwarte kółko wpływa tylko na końce odcinka. Punkty wewnętrzne łamanej (jak \((-3, -4)\)) są zawsze osiągane, bo nie mają żadnego kółka — to zwykłe "przegięcia" wykresu.

Matura 2025 - Sierpniowa