Poprawna odpowiedź: A — \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\)

Sposób 1 — Twierdzenie Pitagorasa (krok po kroku)

Ustalamy dane i rysunek:

Kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\) (bo \(BC\) jest przeciwprostokątną). Punkt \(D\) to środek \(AB\), więc: \[|AD| = |DB| = \frac{|AB|}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Krok 1 — wyznaczamy \(|AC|\):

Trójkąt \(ADC\) ma kąt prosty przy \(A\) (bo kąt \(BAC = 90°\) i \(D\) leży na \(AB\)). Znamy \(|AD| = 3\) i \(|CD| = 5\), więc ze wzoru Pitagorasa: \[|CD|^2 = |AD|^2 + |AC|^2\] \[25 = 9 + |AC|^2\] \[|AC|^2 = 16 \implies |AC| = 4\]

Krok 2 — wyznaczamy \(|BC|\):

W trójkącie \(ABC\) (kąt prosty przy \(A\)): \[|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 = 36 + 16 = 52\] \[|BC| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Krok 3 — wyznaczamy \(\sin\beta\):

Kąt \(\beta = \angle ABC\). W trójkącie prostokątnym \(ABC\) bok naprzeciw kąta \(\beta\) to \(|AC| = 4\), a przeciwprostokątna to \(|BC| = 2\sqrt{13}\): \[\boxed{\sin\beta = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}}\]

Sposób 2 — Twierdzenie sinusów w trójkącie \(BDC\)

Kąt \(\alpha = \angle ADC\) z trójkąta \(ADC\):

Z Kroku 1 wiemy, że \(|AC| = 4\), \(|CD| = 5\), kąt przy \(A\) jest prosty: \[\sin\alpha = \frac{|AC|}{|CD|} = \frac{4}{5}, \qquad \cos\alpha = \frac{|AD|}{|CD|} = \frac{3}{5}\]

Kąt przy \(D\) w trójkącie \(BDC\):

Kąty \(\angle ADC\) i \(\angle BDC\) są suplementarne (razem tworzą kąt półpełny na prostej \(AB\)), więc: \[\sin(\angle BDC) = \sin(180° - \alpha) = \sin\alpha = \frac{4}{5}\] \[\cos(\angle BDC) = -\cos\alpha = -\frac{3}{5}\]

Wyznaczamy \(|BC|\) twierdzeniem cosinusów w trójkącie \(BDC\) (\(|BD|=3\), \(|CD|=5\)): \[|BC|^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos(\angle BDC)\] \[|BC|^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 34 + 18 = 52\] \[|BC| = 2\sqrt{13}\]

Twierdzenie sinusów w trójkącie \(BDC\): \[\frac{\sin\beta}{|CD|} = \frac{\sin(\angle BDC)}{|BC|}\] \[\sin\beta = \frac{|CD| \cdot \sin(\angle BDC)}{|BC|} = \frac{5 \cdot \frac{4}{5}}{2\sqrt{13}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \boxed{\frac{2}{\sqrt{13}}}\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — Twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \(|AC|\) z trójkąta \(ADC\) oraz \(|BC|\) z trójkąta \(ABC\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — Twierdzenie cosinusów: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \(|BC|\) w trójkącie \(BDC\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — Twierdzenie sinusów: \[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\] Użyte w Sposobie 2 do wyliczenia \(\sin\beta\) w trójkącie \(BDC\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
B \(\frac{3}{\sqrt{13}}\)	Wzięcie \(\\|AD\\| = 3\) zamiast \(\\|AC\\| = 4\) jako przyprostokątnej naprzeciw \(\beta\). Uczeń "skraca drogę" i nie wyznacza \(\\|AC\\|\) z Pitagorasa.
C \(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)	Wzięcie \(\\|CD\\| = 5\) zamiast \(\\|AC\\| = 4\), czyli wstawienie odcinka do środka jako "przyprostokątna".
D \(\frac{4}{5}\)	To jest \(\sin\alpha\), czyli sinus kąta \(ADC\) — błąd zamiany kątów \(\alpha\) i \(\beta\). Wynik łatwo policzyć z trójkąta \(ADC\), więc kusi!

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Odpowiedź D (\(\frac{4}{5}\)) to sinus kąta \(\alpha\), nie \(\beta\) — twórcy zadania celowo umieścili ją jako pułapkę. Zawsze sprawdź, o który kąt pyta zadanie!

⚠️ Uwaga: Zanim policzysz sinus, wyznacz wszystkie trzy boki trójkąta ABC. Bez \(|AC|\) nie da się policzyć \(\sin\beta\) bezpośrednio.

⚠️ Uwaga: Trójkąt \(ADC\) też jest prostokątny (przy \(A\)), bo \(D\) leży na ramieniu \(AB\) i kąt \(BAC = 90°\) jest wspólny. Wiele zadań korzysta z tej właśnie "dziedziczonej prostokątności".

Matura 2025 - Majowa