Poprawna odpowiedź: D

Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze \(\langle 2, 5\rangle\).

Sposób 1 — Odczyt z wykresu (analiza każdego przedziału)

Przyglądamy się wykresowi i na każdym odcinku sprawdzamy: czy przy wzroście \(x\) wartość \(f(x)\) maleje?

Na podstawie wykresu wyróżniamy charakterystyczne punkty:

\(x = -6\) — punkt otwarty (funkcja nie jest tu określona), \(y = -3\)
\(x = -3\) — lokalne maksimum, \(y = 5\)
\(x = 0\) — lokalne minimum, \(y = -1\)
\(x = 2\) — \(y = 2\)
\(x = 5\) — koniec dziedziny (punkt zamknięty)

Sprawdzamy każdy odcinek:

Przedział	Zachowanie wykresu	Malejąca?
\((-6,\ -3)\)	wykres idzie w górę (od \(-3\) do \(5\))	❌ NIE
\(\langle -3,\ 0 \rangle\)	wykres idzie w dół (od \(5\) do \(-1\))	✅ TAK
\(\langle 0,\ 2 \rangle\)	wykres idzie w górę (od \(-1\) do \(2\))	❌ NIE
\(\langle 2,\ 5 \rangle\)	wykres idzie w dół	✅ TAK

Teraz patrzymy na odpowiedzi:

Odpowiedź D to \(\langle 2, 5\rangle\) — dokładnie jeden z przedziałów, na którym funkcja maleje ✅

Odpowiedź: D

Sposób 2 — Definicja funkcji malejącej (weryfikacja)

Funkcja \(f\) jest malejąca na przedziale \(\langle a, b\rangle\), gdy: \[\text{dla każdych } x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle: \quad x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\]

Innymi słowy: im większy argument, tym mniejsza wartość — wykres "opada".

Weryfikacja dla \(\langle 2, 5\rangle\):

Weźmy dwa przykładowe punkty z tego przedziału, np. \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 5\). Z wykresu odczytujemy: \[x_1 = 2 < x_2 = 5 \implies f(2) > f(5)\]

Warunek spełniony — wykres opada od \(x=2\) do \(x=5\). Potwierdzamy odpowiedź D.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy definicja funkcji malejącej i uważny odczyt wykresu.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A	\(\langle -6, -3\rangle\) — uczeń bierze skrajny lewy przedział, ale funkcja tam rośnie (wykres idzie od dołu ku maksimum). Dodatkowo \(x = -6\) jest punktem otwartym, więc nie należy do dziedziny — zapis \(\langle -6, \ldots\rangle\) z nawiasem zamkniętym jest już formalnie błędny.
B	\(\langle -3, 1\rangle\) — funkcja rzeczywiście maleje od \(x=-3\) do \(x=0\), ale potem (od \(x=0\) do \(x=2\)) zaczyna rosnąć. Uczeń "przeciągnął" przedział za lokalne minimum i nie zauważył zmiany kierunku.
C	\((1, 2)\) — funkcja jest tam rosnąca (wspina się ku \(y=2\)). Uczeń mógł pomylić "rosnąca" z "malejąca".

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Zwróć uwagę na typ nawiasu — jeśli punkt na wykresie jest otwarty (puste kółko), to \(x\) nie należy do dziedziny, więc przedział musi zaczynać się nawiasem okrągłym \((\), nie ostrokątnym \(\langle\).

⚠️ Uwaga: Funkcja malejąca to cały przedział "w dół" — jeśli w środku jest lokalne minimum i wykres zaczyna rosnąć, ten przedział już nie jest przedziałem monotoniczności. Sprawdzaj każdy fragment osobno!

⚠️ Uwaga: Nie mylić lokalne maksimum / minimum z końcami przedziałów monotoniczności — w punkcie maksimum funkcja przestaje maleć i zaczyna rosnąć (lub odwrotnie). To właśnie wyznacza granice przedziałów.

Matura 2023 - Majowa