Poprawna odpowiedź: B — \(4\sqrt{10}\)

Sposób 1 — Pole prostokąta przez przekątne i kąt między nimi

Oznaczmy długość przekątnej prostokąta jako \(d\). Przekątne prostokąta są równe i przecinają się w środku, dzieląc się na połowy. Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \(O\).

Kluczowa obserwacja: przekątne dzielą prostokąt na 4 trójkąty. Każdy z nich jest równoramienny (dwa ramiona = \(\frac{d}{2}\)), a kąty przy wierzchołku \(O\) to na przemian \(\alpha\) i \(180° - \alpha\).

Pole jednego trójkąta (np. \(\triangle AOB\)): \[P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{d^2}{8}\sin\alpha\]

Ponieważ \(\sin\alpha = \sin(180° - \alpha)\), wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole.

Pole prostokąta: \[P = 4 \cdot \frac{d^2}{8}\sin\alpha = \frac{d^2}{2}\sin\alpha\]

Podstawiamy dane: \(P = 16\), \(\sin\alpha = 0{,}2\): \[16 = \frac{d^2}{2} \cdot 0{,}2 = \frac{d^2}{10}\] \[d^2 = 160\] \[\boxed{d = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}}\]

Sposób 2 — Sinus kąta przez wzór z boków prostokąta

Niech boki prostokąta mają długości \(a\) i \(b\). Umieszczamy prostokąt w układzie współrzędnych:

\(A = (0,0)\), \(B = (a,0)\), \(C = (a,b)\), \(D = (0,b)\)

Wektory wyznaczające przekątne (od środka \(O\)): \[\vec{v_1} = [a, b] \quad \text{(wzdłuż AC)}, \quad \vec{v_2} = [-a, b] \quad \text{(wzdłuż BD)}\]

Sinus kąta między dwoma wektorami (z iloczynu wektorowego w 2D): \[\sin\alpha = \frac{|a \cdot b - b \cdot (-a)|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{|ab + ab|}{\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2}} = \frac{2ab}{a^2+b^2}\]

Ponieważ \(ab = P = 16\) (pole prostokąta) i \(a^2 + b^2 = d^2\) (wzór na przekątną): \[\sin\alpha = \frac{2 \cdot 16}{d^2} = \frac{32}{d^2}\]

Z warunku \(\sin\alpha = 0{,}2\): \[0{,}2 = \frac{32}{d^2} \implies d^2 = \frac{32}{0{,}2} = 160 \implies d = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 20–21) — pole trójkąta z kąta i dwóch boków: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma\] Użyliśmy tego do obliczenia pola każdego z 4 trójkątów tworzonych przez przekątne, gdzie boki to \(\frac{d}{2}\), \(\frac{d}{2}\), a kąt między nimi to \(\alpha\).

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — twierdzenie Pitagorasa: \[d^2 = a^2 + b^2\] Użyliśmy w Sposobie 2 do zamiany \(a^2 + b^2\) na \(d^2\).

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) — jedynka trygonometryczna oraz fakt, że \(\sin\alpha = \sin(180° - \alpha)\): Pozwoliło to stwierdzić, że wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A: \(4\sqrt{5}\)	Policzono \(d^2 = 80\) zamiast \(160\) — pomyłka \(\frac{d^2}{2} \cdot 0{,}2 = 16\) rozwiązana jako \(\frac{d^2}{4} = 16\), czyli zgubieniu czynnika przy \(\sin\alpha\)
C: \(80\)	Wzięto \(d = d^2/2 = 80\), czyli pomylono \(d\) z \(d^2\) — brak obliczenia pierwiastka
D: \(160\)	To wartość \(d^2\), nie \(d\) — zatrzymano się o jeden krok za wcześnie

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to mylenie \(d^2 = 160\) z \(d = 160\) — zawsze pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka na końcu!

⚠️ Uwaga: Kąt \(\alpha\) w treści to kąt ostry między przekątnymi. Kąt rozwarty między nimi to \(180° - \alpha\), ale \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\), więc oba kąty dają takie samo pole trójkąta — nie trzeba się tym martwić.

⚠️ Uwaga: Formuła \(P = \frac{d^2}{2}\sin\alpha\) działa też dla rombu (przekątne też się prostopadle przecinają) — to ten sam schemat. Warto ją zapamiętać!

Matura 2022 - Sierpniowa