Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Trójkąt równoramienny (ABS)

A. (m=-4): (f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2).
B. (m=-2): (f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2).
C. (m=0): (f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2).

(SA=SB) (promienie), więc (\triangle ABS) jest równoramienny. Kąt (ABS = 40°), czyli kąt (BAS = 40°). Kąt (ASB = 180°-80° = 100°). Analogicznie w (\triangle CBS): (SB=SC), (\angle CBS = 40°) (dwusieczna), więc (\angle BCS=40°), (\angle BSC=100°). Dla pełnego kąta w (S) (czworokąt (ABSC)): (\angle ASC = 360° - 100° - 100° - 60°)... Prościej: (\angle ASC) to kąt zewnętrzny łączący bok (SA) i (SC). Skoro (BC) dzieli (\angle ABS) na pół i (\triangle ABS\cong\triangle CBS) (symetria, obydwa z ramionami-promieniami i (\angle B = 40°)), trójkąty są przystające, więc (\angle ASB=\angle CSB=100°). Suma kątów przy (S) w czworokącie wynosi (360°), stąd (\angle ASC = 360°-100°-100°-120°) — skorygujmy: czworokąt (ABSC) ma wierzchołki (A,B,S,C), więc w (S) jest kąt wewnętrzny. W (\triangle ABС) suma miar wychodzi: kąt (\angle ASC = 2\cdot(90°-40°)-40° = ...). Prosta droga: (\angle SBC = 20°) (dwusieczna), (\angle SCB=20°), więc (\angle BSC = 180°-40°=140°). Analogicznie (\angle BSA=140°). W czworokącie suma 360° ⇒ (\angle ASC = 360°-140°-140°-40° = 40°).

Sposób 2 — Symetria względem (BC)

(BC) jako dwusieczna (\angle ABS) przy (SA=SB=SC=R) powoduje, że (A) jest odbiciem (S) względem (BC)… to prowadzi do (\angle ASC = \angle ABS = 40°).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (30°), C. (50°), D. (60°) — błędne miary kątów w trójkącie równoramiennym.

Trik: jeśli wierzchołki leżą na okręgu, wykorzystaj równoramienność trójkątów z bokami-promieniami.

Matura 2022 - Sierpniowa