Poprawna odpowiedź: B (196)

Sposób 1 — Układ współrzędnych

Ustawiamy układ współrzędnych. Kładziemy \(A = (0, 0)\), a prostokąt \(ABCD\) tak, że:

\(B = (a, 0)\), \(C = (a, b)\), \(D = (0, b)\)

Punkt \(E\) leży na \(AB\), więc \(E = (e, 0)\). Punkt \(G\) leży na \(AD\), więc \(G = (0, g)\).

Skoro \(AEFG\) jest prostokątem (z kątem prostym przy \(A\)), to czwarty wierzchołek musi być: \[F = (e,\ g)\]

Odcinki \(EF\) i \(GF\): \[|EF| = g = 30, \qquad |GF| = e = 40\]

Więc \(F = (40, 30)\).

Punkt \(F\) leży na przekątnej \(AC\) (prosta z \((0,0)\) do \((a,b)\)). Warunek współliniowości: \[\frac{40}{a} = \frac{30}{b} \implies \frac{b}{a} = \frac{3}{4} \implies b = \frac{3}{4}a\]

Korzystamy z długości przekątnej \(|AC| = 70\): \[a^2 + b^2 = 70^2 = 4900\] \[a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 4900\] \[\frac{25}{16}a^2 = 4900 \implies a^2 = 3136 \implies \mathbf{a = 56}\] \[\mathbf{b = \frac{3}{4} \cdot 56 = 42}\]

Obwód prostokąta \(ABCD\): \[\boxed{2(56 + 42) = 2 \cdot 98 = 196}\]

Sposób 2 — Kąt i trójkąt prostokątny

Krok 1: Wyznaczamy \(|AF|\).

W prostokącie \(AEFG\): \(AE = 40\), \(AG = 30\), kąt przy \(A\) jest prosty, a \(AF\) to przekątna wewnętrzna. \[|AF| = \sqrt{|AE|^2 + |AG|^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\]

Krok 2: Kąt \(\angle BAC\) jest wspólny dla trójkątów \(AEF\) i \(ABC\).

W trójkącie \(AEF\) (prostokątnym przy \(E\)): \[\sin(\angle BAC) = \frac{|EF|}{|AF|} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}, \qquad \cos(\angle BAC) = \frac{|AE|}{|AF|} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}\]

Krok 3: Boki prostokąta \(ABCD\).

W trójkącie \(ABC\) prostokątnym przy \(B\), z przeciwprostokątną \(AC = 70\): \[|AB| = |AC| \cdot \cos(\angle BAC) = 70 \cdot \frac{4}{5} = \mathbf{56}\] \[|BC| = |AC| \cdot \sin(\angle BAC) = 70 \cdot \frac{3}{5} = \mathbf{42}\]

Obwód: \[2(56 + 42) = \mathbf{196}\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 15) — Twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy dwukrotnie: do obliczenia \(|AF|\) w trójkącie \(AEF\) (Sposób 2) oraz do wyznaczenia boku \(a\) z warunku \(|AC| = 70\) (Sposób 1).

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–12) — definicje sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\] Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boków prostokąta z kąta \(\angle BAC\) i przekątnej \(AC = 70\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A (\(158\))	Pomieszanie podobieństwa trójkątów — błędna proporcja przy wyznaczaniu \(\|AB\|\) i \(\|BC\|\), np. nieprawidłowe przypisanie sinusa i cosinusa do boków
C (\(336\))	Dodanie długości obu przekątnych do obwodu: \(2(56+42) + 2 \cdot 70 = 196 + 140 = 336\) — pamiętaj, że obwód to tylko cztery boki!
D (\(490\))	Wzięcie \(EF + GF = 70\) jako połowy obwodu i przemnożenie przez 7 (\(7 \times 70 = 490\)) — \(\|EF\|\) i \(\|GF\|\) to boki wewnętrznego prostokąta \(AEFG\), nie boki \(ABCD\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Trójkąt \(AEF\) ma kąt prosty przy E, nie przy \(F\)! Przeciwprostokątną jest \(AF\), więc \(|AF| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\), a nie \(|AF| = 30 + 40\).

⚠️ Uwaga: Kąt \(\angle BAC\) to ten sam kąt w trójkącie \(AEF\) i w trójkącie \(ABC\) — to jest klucz. Nie wyliczaj go w stopniach — wystarczy znać \(\sin\) i \(\cos\) z małego trójkąta i przełożyć to na duży.

⚠️ Uwaga: Wynik może być taki sam niezależnie od tego, czy \(|AE| = 30\) i \(|AG| = 40\), czy odwrotnie — prostokąt ABCD po zamianie ma zamienione boki, ale ten sam obwód (\(56 + 42 = 42 + 56\)).

Matura 2021 - Sierpniowa