Poprawna odpowiedź: C (5 liczb wymiernych)

Sposób 1 — Analiza każdego elementu zbioru

Przypomnienie: liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako \(\frac{p}{q}\), gdzie \(p, q \in \mathbb{Z}\), \(q \neq 0\). Oznacza to: ułamki zwykłe, liczby całkowite, skończone rozwinięcia dziesiętne oraz nieskończone rozwinięcia dziesiętne okresowe.

Analizuję każdy element po kolei:

Element 1: \(-2\tfrac{3}{7}\) \[-2\tfrac{3}{7} = -\frac{17}{7}\] Ułamek zwykły — wymierna ✓

Element 2: \(3{,}(15)\) To ułamek dziesiętny okresowy \(3{,}151515\ldots\) Każde nieskończone rozwinięcie okresowe jest wymierne. Sprawdzam: \[x = 3{,}(15),\quad 100x = 315{,}(15)\] \[100x - x = 315{,}(15) - 3{,}(15) = 312\] \[99x = 312 \implies x = \frac{312}{99} = \frac{104}{33}\] Ułamek zwykły — wymierna ✓

Element 3: \(-\dfrac{2\pi}{3}\) \(\pi\) jest liczbą przestępną (niewymierna). Mnożenie przez \(\frac{2}{3}\) nie zmienia tej własności. — niewymierna ✗

Element 4: \(\sqrt{1{,}69}\) \[1{,}69 = \frac{169}{100}, \quad \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} = 1{,}3\] Wynik to skończony ułamek dziesiętny — wymierna ✓

Element 5: \(\sqrt{7}\) \(7\) nie jest pełnym kwadratem żadnej liczby wymiernej. Można formalnie udowodnić (przez sprzeczność), że \(\sqrt{7} \notin \mathbb{Q}\). — niewymierna ✗

Element 6: \(\dfrac{8}{5}\) \[\frac{8}{5} = 1{,}6\] Ułamek zwykły — wymierna ✓

Element 7: \(-\sqrt{7\tfrac{1}{9}}\) \[7\tfrac{1}{9} = \frac{63+1}{9} = \frac{64}{9}\] \[-\sqrt{\frac{64}{9}} = -\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}} = -\frac{8}{3}\] Wynik to ułamek zwykły — wymierna ✓

Podsumowanie:

Element	Wartość	Wymierna?
\(-2\tfrac{3}{7}\)	\(-\frac{17}{7}\)	✓
\(3{,}(15)\)	\(\frac{104}{33}\)	✓
\(-\frac{2\pi}{3}\)	niewymierna	✗
\(\sqrt{1{,}69}\)	\(\frac{13}{10}\)	✓
\(\sqrt{7}\)	niewymierna	✗
\(\frac{8}{5}\)	\(\frac{8}{5}\)	✓
\(-\sqrt{7\tfrac{1}{9}}\)	\(-\frac{8}{3}\)	✓

Liczb wymiernych jest 5. Odpowiedź: C

Sposób 2 — Weryfikacja przez eliminację

Zamiast sprawdzać wymierność, mogę szybko wyłowić niewymierne:

Liczba jest niewymierna, gdy zawiera:

\(\pi\) (liczba przestępna) → eliminuję \(-\frac{2\pi}{3}\)
pierwiastek z liczby, która nie jest pełnym kwadratem liczby wymiernej → sprawdzam pierwiastki:
- \(\sqrt{1{,}69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10}\) — pełny kwadrat ✓
- \(\sqrt{7}\) — \(7\) nie jest pełnym kwadratem ✗
- \(\sqrt{7\tfrac{1}{9}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\) — pełny kwadrat ✓

Niewymierne: \(-\frac{2\pi}{3}\) i \(\sqrt{7}\) → dwa elementy niewymierne.

\[7 - 2 = \mathbf{5}\]

Wynik zgodny: C

Wzory z karty CKE

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4–5): \[\sqrt[n]{a} \text{ jest wymierne} \iff a \text{ jest } n\text{-tą potęgą liczby wymiernej}\] \[\sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10}, \quad \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\] Użyliśmy zasady \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) do uproszczenia pierwiastków w elementach 4 i 7.

W tym zadaniu nie ma potrzeby korzystania z innych działów karty wzorów.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A \((3)\)	Uczeń traktuje \(3{,}(15)\) jako niewymierne (nie zna zasady o ułamkach okresowych) i dodatkowo błędnie oblicza jeden z pierwiastków
B \((4)\)	Najczęstszy błąd: uczeń nie upraszcza \(\sqrt{7\tfrac{1}{9}}\) — nie zamienia liczby mieszanej na \(\frac{64}{9}\), więc "widzi" tam coś nieirracjonalnego; albo błędnie klasyfikuje \(3{,}(15)\)
D \((6)\)	Uczeń uznaje \(\sqrt{7}\) za wymierne (np. liczy \(\sqrt{7} \approx 2{,}646\) i myśli, że "wychodzi ładnie")

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: \(\sqrt{7\tfrac{1}{9}}\) wygląda groźnie, ale po zamianie na ułamek niewłaściwy \(\frac{64}{9}\) okazuje się pełnym kwadratem — \(\frac{8^2}{3^2}\). Zawsze zamieniaj liczby mieszane przed wyciąganiem pierwiastka!

⚠️ Uwaga: Ułamek dziesiętny okresowy (z kreskami lub nawiasami nad/przy cyfrach) jest zawsze wymierny — można go zamienić na ułamek zwykły metodą \(x, 100x\) jak wyżej.

⚠️ Uwaga: Samo pojawienie się \(\pi\) w wyrażeniu czyni je niewymierne, nawet gdy stoi w ułamku — \(-\frac{2\pi}{3}\) jest niewymierne, bo \(\pi\) jest niewymierne.

Matura 2014 - Majowa