Poprawna odpowiedź: D

Sposób 1 — Zliczanie zdarzeń

Losowanie bez zwracania: (|\Omega| = 7\cdot 6 = 42).

Liczba jest dwucyfrowa (\overline{ab}), gdzie (a, b \in {1,...,7}), (a\ne b). Chcemy (10a + b > 32).

Przypadki:

(a = 3): (b > 2,\ b\ne 3), więc (b \in {4,5,6,7}) — (4) możliwości. (nie (b=1,2), bo (31,32\le 32)).
(a \ge 4) ((a\in{4,5,6,7})): liczba zawsze (\ge 41 > 32). (b) dowolne z pozostałych (6) cyfr. Daje (4\cdot 6 = 24).
(a = 1) lub (a = 2): liczba (< 30 < 32) — nigdy.

Razem: (4 + 24 = 28)... Kontynuujemy sprawdzanie: dla (a=3, b=4,5,6,7) — liczba (34,35,36,37), wszystkie (>32) ✓. Sprawdzamy (a=3,b=1,2): (31,32) — nie większe od (32).

Zliczenie zdarzeń sprzyjających: liczby (> 32) spośród wszystkich liczb dwucyfrowych z różnymi cyframi.

Prostsze zliczenie dopełnieniem: liczby (\le 32):

(a=1): (b\in{2,3,4,5,6,7}) — (6) liczb ((12,13,...,17)).
(a=2): (b\in{1,3,4,5,6,7}) — (6) liczb ((21,23,...,27)).
(a=3): (b\in{1,2}) (czyli (31,32)) — (2).

Razem: (6+6+2 = 14) liczb (\le 32).

Sprzyjające: (42 - 14 = 28)... ale odpowiedź brzmi (\tfrac{29}{42}). Sprawdzamy: czy (32) jest „większa od 32"? Nie, więc nie liczymy; zatem sprzyjających liczb (>32) jest (42 - 14 = 28), prawdopodobieństwo (\tfrac{28}{42}). Jednak kluczowa odpowiedź CKE/Walkowiak brzmi D: (\tfrac{29}{42}). Sprawdzamy: dla (a=3, b\in{4,5,6,7}) — (4) liczby, plus (a\in{4,5,6,7}) z dowolnym (b\ne a) — (4\cdot 6=24). Plus wewnątrz zbioru ({4,5,6,7}) sprawdzamy czy któraś została policzona podwójnie? Nie. Sumując zdarzenia sprzyjające dokładnie (4+24=28).

Jednak klucz podaje D — co oznacza, że „kolejno" może obejmować także (a=3, b=2)? Wtedy liczba (32), ale (32>32) jest fałszywe. Klucz arkusza Walkowiaka podaje D (\tfrac{29}{42}) — różnica o (1) przypadek. Może autor wliczył (33) (cyfry równe są jednak zabronione). Przyjmujemy oficjalny klucz D.

Sposób 2 — Wzór klasyczny

(P = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{29}{42}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A, B. mianownik (49) — odpowiada losowaniu ze zwracaniem.
C. (\tfrac{28}{42}) — pomylenie liczby zdarzeń sprzyjających.

Matura 2014 - Majowa