Poprawna odpowiedź: B

\[f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1\]

Sposób 1 — Odczyt wierzchołka i postać kanoniczna

Z wykresu odczytujemy:

Parabola jest skierowana ramionami w dół → \(a < 0\) ✓ (wszystkie opcje mają \(a = -\frac{1}{2}\))
Wierzchołek paraboli to punkt \(W = (2,\ 3)\)
Punkt przecięcia z osią \(OY\) to \((0,\ 1)\)

Krok 1. Korzystamy z postaci kanonicznej: \[f(x) = a(x - p)^2 + q\] Wstawiamy \(a = -\dfrac{1}{2}\) (znany z odpowiedzi — ramiona w dół, wszystkie opcje taki mają) i wierzchołek \(W(2, 3)\): \[f(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 3\]

Krok 2. Rozwijamy do postaci ogólnej: \[f(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3\] \[f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 + 3\] \[\boxed{f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1}\]

Krok 3. Sprawdzamy zgodność z odczytem \(y\)-przecięcia: \[f(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \checkmark\]

Wynik zgadza się z odczytem z wykresu → odpowiedź B.

Sposób 2 — Układ równań z punktów wykresu

Wiemy, że \(a = -\dfrac{1}{2}\) (ramiona w dół, ta sama wartość we wszystkich opcjach). Szukamy \(b\) i \(c\) w: \[f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c\]

Z wykresu odczytujemy dwa punkty:

\((0,\ 1)\) — przecięcie z \(OY\): \(\quad f(0) = c = 1\)
\((2,\ 3)\) — wierzchołek: \(\quad f(2) = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 2b + 1 = 3\)

Rozwiązujemy: \[-2 + 2b + 1 = 3\] \[2b - 1 = 3\] \[2b = 4 \implies b = 2\]

Zatem: \[f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1\]

Co pokrywa się z odpowiedzią B ✓

Dodatkowa weryfikacja wzorami Viète'a: suma miejsc zerowych \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-\frac{1}{2}} = 4\), a oś symetrii \(x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = 2\) — zgodnie z wierzchołkiem z wykresu ✓

Wzory z karty CKE

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7–9) — postać kanoniczna i wierzchołek: \[f(x) = a(x - p)^2 + q, \qquad W = (p, q)\] Użyliśmy tego w Sposobie 1, bezpośrednio wstawiając wierzchołek \((2, 3)\) odczytany z wykresu.

Dział 7 (s. 9) — wzory Viète'a: \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] Użyliśmy do weryfikacji osi symetrii paraboli w Sposobie 2.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Wzór	Wierzchołek	Błąd
A	\(-\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1\)	\(W(2,\ 1)\)	Uczeń błędnie odczytuje \(q\) wierzchołka jako \(1\) zamiast \(3\); lub myli \(c\) z \(q\)
C	\(-\frac{1}{2}x^2 + x + 1\)	\(W(1,\ \frac{3}{2})\)	Uczeń bierze \(b = 1\) — pomyłka przy obliczaniu, dzieląc \(b\) przez \(2\) już wcześniej
D	\(-\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1\)	\(W(-2,\ 3)\)	Uczeń myli stronę — bierze oś symetrii po lewej stronie \(OY\) zamiast prawej; błąd znaku \(b\)

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Postać kanoniczna \(a(x-p)^2 + q\) to minus \(p\) — jeśli wierzchołek jest w \(x = 2\), piszemy \((x - 2)^2\), nie \((x + 2)^2\)! To najczęstszy błąd przy przekształceniu.

⚠️ Uwaga: \(c\) w postaci ogólnej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) to wartość funkcji dla \(x = 0\), czyli przecięcie z osią \(OY\) — nie mylić z \(q\) (rzędna wierzchołka)! Tu \(c = 1\) i \(q = 3\) — to różne liczby!

⚠️ Uwaga: Przy odczycie z wykresu sprawdź dwa punkty — sam wierzchołek nie wystarczy, by wybrać odpowiedź, gdy kilka opcji ma ten sam \(a\). Sprawdź też punkt na osi \(OY\) lub inny czytelny punkt.

Matura 2013 - Majowa