Poprawna odpowiedź: D — \(50^\circ\)

Sposób 1 — Trójkąt równoramienny (promienie + geometria)

Dane z zadania: Kąt środkowy dopełniający ma miarę \(260^\circ\), czyli łuk "po drugiej stronie" cięciwy wynosi \(260^\circ\).

Krok 1 — Wyznacz łuk wycięty przez cięciwę.

Łuk po stronie kąta \(\alpha\) to: \[360^\circ - 260^\circ = 100^\circ\]

Odpowiadający mu kąt środkowy \(\angle TOB = 100^\circ\) (gdzie \(T\) = punkt styczności, \(B\) = drugi koniec cięciwy, \(O\) = środek okręgu).

Krok 2 — Własność stycznej: promień ⊥ styczna.

Promień \(OT\) jest prostopadły do stycznej, więc: \[\angle(\text{styczna}, OT) = 90^\circ\]

Krok 3 — Trójkąt \(OTB\) jest równoramienny.

\(OT = OB = r\) (oba promienie), więc kąty przy podstawie \(TB\) są równe: \[\angle OTB = \angle OBT = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\]

Krok 4 — Wyznacz \(\alpha\).

Ponieważ \(OT \perp \text{styczna}\): \[\alpha = 90^\circ - \angle OTB = 90^\circ - 40^\circ = \boxed{50^\circ}\]

Sposób 2 — Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą

Jest to szybsza droga, jeśli znasz twierdzenie:

Twierdzenie: Kąt między styczną a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy połowie łuku wciętego przez tę cięciwę (łuku leżącego "wewnątrz" kąta).

Krok 1: Łuk po stronie kąta \(\alpha\): \[360^\circ - 260^\circ = 100^\circ\]

Krok 2: Kąt między styczną a cięciwą: \[\alpha = \frac{100^\circ}{2} = \boxed{50^\circ}\]

To twierdzenie jest uogólnieniem własności kąta wpisanego — kąt przy stycznej "zachowuje się" jak kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 18–19):

Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku: \[\angle \text{wpisany} = \frac{1}{2} \cdot \angle \text{środkowy}\] Kąt między styczną a cięciwą jest szczególnym przypadkiem kąta wpisanego (gdy jeden wierzchołek "zsuwa się" na okrąg do punktu styczności).

Promień ⊥ styczna — promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Użyliśmy tego w Sposobie 1, by wyznaczyć \(\alpha = 90^\circ - 40^\circ\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd prowadzący do tej odpowiedzi
A — \(70^\circ\)	Błędne wyznaczenie łuku: np. wzięcie \(\frac{360^\circ - 260^\circ + 40^\circ}{2} = 70^\circ\) lub pomylenie łuku z kątem wpisanym i dodanie błędowej poprawki
B — \(65^\circ\)	Wzięcie połowy "złego" łuku: \(\frac{260^\circ}{2} = 130^\circ\), a potem znowu połowy: \(\frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\) — podwójne dzielenie przez 2 tam, gdzie nie trzeba
C — \(40^\circ\)	Poprawnie wyznaczono kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego \(\angle OTB = 40^\circ\), ale pominięto odjęcie od \(90^\circ\) — uczeń zatrzymuje się o krok za wcześnie

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: "Kąt środkowy dopełniający \(260^\circ\)" oznacza, że interesujący nas łuk ma miarę \(360^\circ - 260^\circ = 100^\circ\). Nie dziel \(260^\circ\) przez 2 — to byłby kąt po złej stronie!

⚠️ Uwaga: Kąt między styczną a cięciwą nie jest kątem wpisanym w trójkąt — nie stosuj tu twierdzenia o sumie kątów w trójkącie bezpośrednio bez narysowania promieni.

⚠️ Uwaga: Własność \(OT \perp \text{styczna}\) to fundament — bez niej nie można skorzystać ze związku \(\alpha = 90^\circ - \angle OTB\). Zawsze zaznaczaj kąt prosty na rysunku!

Matura 2012 - Majowa