Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)

Należy wykazać, że \(\angle BAC = 90°\).

Sposób 1 — Geometryczny (styczna wspólna wewnętrzna + twierdzenie Talesa)

Idea: Skonstruujemy punkt, od którego odległości do \(B\), \(A\) i \(C\) są równe — co da nam okrąg z średnicą \(BC\) i wnioskujemy z twierdzenia o kącie wpisanym w półokrąg.

Krok 1 — Styczna wspólna wewnętrzna w punkcie \(A\).

Ponieważ dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie \(A\), istnieje wspólna styczna wewnętrzna \(t\) do obu okręgów w punkcie \(A\) (prostopadła do \(S_1S_2\) w punkcie \(A\)).

Niech \(P\) będzie punktem przecięcia prostej \(t\) z prostą \(BC\).

Krok 2 — Równość odcinków stycznych z punktu \(P\).

Z zewnętrznego punktu \(P\) poprowadzono dwie styczne do okręgu \(o_1\):

styczna \(t\) w punkcie \(A\) → odcinek styczny = \(|PA|\)
styczna \(BC\) w punkcie \(B\) → odcinek styczny = \(|PB|\)

Z własności stycznych z zewnętrznego punktu do okręgu: \[|PA| = |PB|\]

Analogicznie dla okręgu \(o_2\) — z punktu \(P\) wychodzą dwie styczne: \(t\) w \(A\) i \(BC\) w \(C\): \[|PA| = |PC|\]

Krok 3 — Wniosek.

Z powyższego: \[|PB| = |PA| = |PC|\]

Punkt \(P\) leży na odcinku \(BC\) (między \(B\) a \(C\)) i jest jego środkiem, bo \(|PB| = |PC|\). Zatem: \[|BC| = |PB| + |PC| = 2|PB|\]

Punkt \(A\) leży na okręgu o środku \(P\) i promieniu \(|PB|\). Ale ten okrąg przechodzi też przez \(B\) i \(C\), a \(BC\) jest średnicą tego okręgu (bo \(|BC| = 2|PB|\) = średnica).

Z twierdzenia Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy = \(90°\)): \[\boxed{\angle BAC = 90°}\]

Sposób 2 — Współrzędnościowy (weryfikacja analityczna)

Umieszczamy prostą \(BC\) wzdłuż osi \(OX\). Niech:

okrąg \(o_1\): środek \(S_1 = (0,\ r_1)\), promień \(r_1\), punkt styczności \(B = (0, 0)\)
okrąg \(o_2\): środek \(S_2 = (d,\ r_2)\), promień \(r_2\), punkt styczności \(C = (d, 0)\)

Warunek styczności zewnętrznej \(|S_1S_2| = r_1 + r_2\): \[(r_1 + r_2)^2 = d^2 + (r_2 - r_1)^2\] \[d^2 = (r_1+r_2)^2 - (r_2-r_1)^2 = 4r_1r_2 \implies d = 2\sqrt{r_1 r_2}\]

Punkt \(A\) leży na \(S_1S_2\), w odległości \(r_1\) od \(S_1\): \[A = S_1 + \frac{r_1}{r_1+r_2}(S_2 - S_1) = \left(\frac{r_1 d}{r_1+r_2},\ \frac{2r_1 r_2}{r_1+r_2}\right)\]

Wektory z \(A\) do \(B\) i do \(C\): \[\vec{AB} = B - A = \left(-\frac{r_1 d}{r_1+r_2},\ -\frac{2r_1 r_2}{r_1+r_2}\right)\] \[\vec{AC} = C - A = \left(d - \frac{r_1 d}{r_1+r_2},\ -\frac{2r_1 r_2}{r_1+r_2}\right) = \left(\frac{r_2 d}{r_1+r_2},\ -\frac{2r_1 r_2}{r_1+r_2}\right)\]

Iloczyn skalarny \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\): \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \left(-\frac{r_1 d}{r_1+r_2}\right)\left(\frac{r_2 d}{r_1+r_2}\right) + \left(-\frac{2r_1 r_2}{r_1+r_2}\right)^2\]

\[= \frac{1}{(r_1+r_2)^2}\left(-r_1 r_2 d^2 + 4r_1^2 r_2^2\right) = \frac{r_1 r_2}{(r_1+r_2)^2}\left(-d^2 + 4r_1 r_2\right)\]

Podstawiamy \(d^2 = 4r_1 r_2\): \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{r_1 r_2}{(r_1+r_2)^2} \cdot (-4r_1r_2 + 4r_1r_2) = \frac{r_1 r_2}{(r_1+r_2)^2} \cdot 0 = 0\]

Iloczyn skalarny równy zero oznacza \(\vec{AB} \perp \vec{AC}\), czyli: \[\boxed{\angle BAC = 90°} \qquad \square\]

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 19) — twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półokrąg:

Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest prosty.

Użyliśmy tego w Sposobie 1 — wykazaliśmy, że \(BC\) jest średnicą okręgu, na którym leży \(A\).

Dział 10 (Planimetria, s. 18) — własność stycznych z zewnętrznego punktu:

Z punktu zewnętrznego do okręgu można poprowadzić dwie styczne o równych długościach.

Kluczowy krok Sposobu 1: \(|PB| = |PA|\) i \(|PC| = |PA|\).

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Punkt \(A\) leży na obwodzie obu okręgów — to nie jest punkt zewnętrzny! Dlatego równość stycznych \(|PA| = |PB|\) i \(|PA| = |PC|\) dotyczy punktu \(P\) (przecięcie stycznej \(t\) z \(BC\)), a nie punktu \(A\).

⚠️ Uwaga: W rozwiązaniu współrzędnościowym kluczowe jest poprawne wyznaczenie punktu \(A\) — leży on na odcinku \(S_1S_2\), w odległości \(r_1\) od \(S_1\) (styczna zewnętrzna, nie wewnętrzna!).

⚠️ Uwaga: Nie zakładamy, że \(r_1 = r_2\) — dowód musi działać dla okręgów o dowolnych promieniach. Gdyby \(r_1 = r_2\), linia \(S_1S_2\) byłaby pozioma i symetria zadania byłaby oczywista — ale w ogólnym przypadku potrzebujemy pełnego rozumowania.

Matura 2011 - Majowa