Poprawna odpowiedź: A

Sposób 1 — suma kątów w czworokącie (S_1BCS_2)

Niech (r_1=|S_1A|=|S_1B|) i (r_2=|S_2A|=|S_2C|) będą promieniami okręgów. Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie w (A), punkty (S_1, A, S_2) są współliniowe (prosta łącząca środki przechodzi przez punkt styczności).

Prosta (BC) jest styczna do obu okręgów, więc: [S_1B\perp BC,\qquad S_2C\perp BC,] a zatem (\angle S_1BC=\angle S_2CB=90^\circ). Oznacza to, że (S_1B\parallel S_2C) (obie proste są prostopadłe do tej samej prostej (BC)).

Czworokąt (S_1BCS_2) jest więc trapezem prostokątnym (ma dwa kąty proste przy (B) i (C)). Suma kątów w czworokącie wynosi (360^\circ), więc: [\angle BS_1S_2 + \angle CS_2S_1 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ.\qquad(*)]

Teraz trójkąty (S_1AB) i (S_2AC) są równoramienne ((|S_1A|=|S_1B|) oraz (|S_2A|=|S_2C|)). Oznaczmy kąty przy podstawach: [\angle S_1BA = \angle S_1AB = \alpha,\qquad \angle S_2CA = \angle S_2AC = \beta.] Z sumy kątów w trójkątach: [\angle BS_1A = 180^\circ - 2\alpha,\qquad \angle CS_2A = 180^\circ - 2\beta.] Ponieważ (S_1, A, S_2) są współliniowe, to (\angle BS_1S_2=\angle BS_1A) oraz (\angle CS_2S_1=\angle CS_2A). Podstawiając do (*): [(180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\beta) = 180^\circ,] [360^\circ - 2\alpha - 2\beta = 180^\circ,] [\alpha+\beta=90^\circ.]

A kąt (BAC) na punkcie (A) leży pomiędzy półprostymi (AB) i (AC), więc: [\angle BAC = \alpha + \beta = 90^\circ,] czyli kąt (BAC) jest prosty. (\square)

Sposób 2 — twierdzenie o stycznej prostopadłej do promienia

Jak wyżej (\angle S_1BC=\angle S_2CB=90^\circ). W czworokącie (S_1BCS_2) suma kątów wynosi (360^\circ), więc (\angle BS_1S_2+\angle S_1S_2C=180^\circ).

Z trójkątów równoramiennych (S_1AB) i (S_2AC) mamy (\angle BAS_1 = \tfrac{180^\circ-\angle BS_1A}{2}\cdot 1 = 90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle BS_1S_2) (bo (S_1,A,S_2) współliniowe). Analogicznie (\angle CAS_2 = 90^\circ - \tfrac{1}{2}\angle CS_2S_1). Dodając: [\angle BAC = \angle BAS_1 + \angle CAS_2 = 180^\circ - \tfrac{1}{2}(\angle BS_1S_2+\angle CS_2S_1) = 180^\circ - \tfrac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ.]

Wzory z karty CKE (wybrane_wzory_matematyczne_EM2023.pdf):

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności — Dział 11 Planimetria (s. 17)
Suma kątów w czworokącie: (360^\circ) — Dział 11 (s. 13)
Kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe — Dział 11 (s. 14)

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

Zadanie typu „wykaż, że…” nie ma wariantów A/B/C/D — liczy się poprawny dowód.
Typowe błędy: pominięcie, że (S_1AS_2) są współliniowe (bo okręgi styczne zewnętrznie) lub niewykorzystanie prostopadłości stycznej do promienia.

Matura 2011 - Majowa