Poprawna odpowiedź: B

Długość boku wynosi \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\).

Sposób 1 — Wzór na wysokość trójkąta równobocznego

Z karty wzorów CKE znamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\):

\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Wiemy, że \(h = 2\), więc podstawiamy i wyznaczamy \(a\):

\[2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Mnożymy obie strony przez 2:

\[4 = a\sqrt{3}\]

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\):

\[a = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Wymieniamy mianownik (mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\)):

\[a = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Długość boku wynosi \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\).

Sposób 2 — Trójkąt prostokątny 30°–60°–90°

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach \(30°\), \(60°\), \(90°\).

Oznaczamy bok trójkąta równobocznego jako \(a\). W trójkącie prostokątnym:

przeciwprostokątna = \(a\) (bok trójkąta równobocznego)
jedna przyprostokątna = wysokość \(h = 2\)
kąt przy podstawie = \(60°\)

Korzystamy z definicji sinusa:

\[\sin 60° = \frac{h}{a} = \frac{\text{przeciwprostokątna do kąta 60°}}{\text{przeciwprostokątna}}\]

Uwaga: wysokość jest naprzeciwko kąta \(60°\), więc:

\[\sin 60° = \frac{h}{a} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{a}\]

Wyznaczamy \(a\):

\[a = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Ten sam wynik: \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\). ✓

Wzory z karty CKE

Dział 10 (Planimetria, s. 16) — wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\): \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \(a\) z danej wysokości.

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–12) — wartość \(\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (tabela wartości) oraz definicja sinusa w trójkącie prostokątnym. Użyliśmy w Sposobie 2.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd
A	Uczeń myśli, że \(h = a\), czyli bok = 2. Myli wysokość z bokiem.
C	Uczeń stosuje wzór \(a = h \cdot \sqrt{3}\) zamiast \(a = \frac{2h}{\sqrt{3}}\) — odwraca zależność. Wychodzi \(2\sqrt{3}\).
D	Uczeń stosuje wzór dla koła lub innej figury, albo dzieli przez 2 zamiast przez \(\sqrt{3}\).

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Nie myl boku z wysokością — w trójkącie równobocznym wysokość jest KRÓTSZA od boku (bo \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 < 1\)). Jeśli wychodzi ci bok krótszy niż wysokość — masz błąd!

⚠️ Uwaga: Przy wymiernianiu mianownika: \(\dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) — nie zapomnij o tym kroku, bo odpowiedź bez wymiernionego mianownika może nie pasować do podanych opcji.

⚠️ Uwaga: Wzór \(h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) jest na karcie CKE — nie musisz go wyprowadzać, ale warto wiedzieć skąd pochodzi (Pitagoras: \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\)).

Matura 2010 - Majowa