Poprawna odpowiedź: A — \(\sqrt{15}\)

Sposób 1 — Trójkąt prostokątny ADC (bezpośrednie zastosowanie definicji tangensa)

Krok 1: Ustalamy, gdzie jest kąt prosty.

Skoro \(AB\) jest przyprostokątną, to kąt prosty leży przy \(A\). Zatem:

\(AB \perp AC\) — kąt \(\angle BAC = 90°\)
\(BC\) jest przeciwprostokątną

Krok 2: Wyznaczamy długość \(|AB|\).

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\): \[|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\] \[|AB|^2 + 15 = 64\] \[|AB|^2 = 49 \implies |AB| = 7\]

Krok 3: Wyznaczamy \(|AD|\).

Punkt \(D\) leży na \(AB\) z \(|BD| = 6\), więc: \[|AD| = |AB| - |BD| = 7 - 6 = 1\]

Krok 4: Rozpoznajemy trójkąt ADC.

Ponieważ \(\angle DAC = 90°\) (kąt prosty w \(A\) przenosi się na każdy punkt \(D\) leżący na \(AB\)), trójkąt \(ADC\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(A\).

Krok 5: Liczymy \(\operatorname{tg}(\angle ADC)\).

W trójkącie prostokątnym \(ADC\) (kąt prosty przy \(A\)): \[\operatorname{tg}(\angle ADC) = \frac{\text{przeciwprostokątna względem }\angle ADC}{\text{przyprostokątna przy }\angle ADC} = \frac{|AC|}{|AD|} = \frac{\sqrt{15}}{1} = \boxed{\sqrt{15}}\]

Sposób 2 — Twierdzenie cosinusów + kąt suplementarny

Krok 1: Wyznaczamy \(|DC|\).

Z trójkąta prostokątnego \(ADC\) (kąt prosty przy \(A\)): \[|DC| = \sqrt{|AD|^2 + |AC|^2} = \sqrt{1 + 15} = \sqrt{16} = 4\]

Krok 2: Wyznaczamy \(\cos(\angle BDC)\) z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(BDC\).

Znamy: \(|BD| = 6\), \(|DC| = 4\), \(|BC| = 8\). \[|BC|^2 = |BD|^2 + |DC|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |DC| \cdot \cos(\angle BDC)\] \[64 = 36 + 16 - 48\cos(\angle BDC)\] \[12 = -48\cos(\angle BDC)\] \[\cos(\angle BDC) = -\frac{1}{4}\]

Kąt \(\angle BDC\) jest rozwarty (cosinus ujemny) — to ma sens, bo \(D\) leży między \(A\) i \(B\).

Krok 3: Kąty \(\angle ADC\) i \(\angle BDC\) są suplementarne.

Ponieważ \(A\), \(D\), \(B\) leżą na jednej prostej: \[\angle ADC + \angle BDC = 180°\]

Korzystamy z: \[\sin(\angle BDC) = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\] \[\operatorname{tg}(\angle BDC) = \frac{\sin(\angle BDC)}{\cos(\angle BDC)} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}\]

\[\operatorname{tg}(\angle ADC) = \operatorname{tg}(180° - \angle BDC) = -\operatorname{tg}(\angle BDC) = -(-\sqrt{15}) = \sqrt{15}\]

Wzory z karty CKE

Dział 9 (Trygonometria, s. 11–12) — definicja tangensa w trójkącie prostokątnym: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko kąta } \alpha}{\text{przyprostokątna przy kącie } \alpha}\] Użyte w Sposobie 1 do bezpośredniego odczytu \(\operatorname{tg}(\angle ADC)\).

Dział 10 (Planimetria — twierdzenie Pitagorasa, s. 15): \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyte do wyznaczenia \(|AB| = 7\) (Sposób 1) i \(|DC| = 4\) (Sposób 2).

Dział 10 (Planimetria — twierdzenie cosinusów, s. 15): \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \(\cos(\angle BDC)\) w trójkącie \(BDC\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi
B \(\frac{1}{2}\)	Mylenie \(\operatorname{tg}\) z innym stosunkiem; np. obliczenie \(\frac{\|DC\|}{\|BC\|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) — wzięto złe boki, nie z trójkąta \(ADC\)
C \(\frac{7}{8}\)	Obliczenie \(\cos(\angle ABC)\) w oryginalnym trójkącie: \(\cos(\angle ABC) = \frac{\|AB\|}{\|BC\|} = \frac{7}{8}\) — pomylono kąt i funkcję
D \(\frac{\sqrt{15}}{8}\)	Obliczenie \(\sin(\angle ABC) = \frac{\|AC\|}{\|BC\|} = \frac{\sqrt{15}}{8}\) — wzięto sinus kąta przy \(B\) zamiast tangensa kąta \(ADC\)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kąt prosty jest przy A, nie przy C! Skoro \(AB\) jest przyprostokątną, kąt prosty leży między \(AB\) a \(AC\), czyli przy wierzchołku \(A\). Niejeden uczeń odruchowo przyjmuje kąt prosty przy \(C\), bo tam jest "zakończenie" nazw boków — to błąd.

⚠️ Uwaga: Nie zapomnij obliczyć \(|AD| = |AB| - |BD| = 7 - 6 = 1\). To pozornie nieistotny krok, ale wielu uczniów bierze \(|BD| = 6\) jako "AD" — wtedy wychodzi \(\frac{\sqrt{15}}{6}\), czego nie ma wśród odpowiedzi.

⚠️ Uwaga: W trójkącie \(ADC\) z kątem prostym przy \(A\) tangens kąta \(ADC\) to \(\frac{|AC|}{|AD|}\) (przeciwprostokątna \(AC\) podzielona przez przyprostokątną \(AD\) — nie odwrotnie). Odwrócenie daje tangens kąta \(ACD\), nie \(ADC\).

Matura 2024 - Grudniowa