Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą

Kąt między styczną (k) a cięciwą (AB) równa się kątowi wpisanemu opartemu na (AB) od przeciwnej strony cięciwy. Ten kąt wpisany to (\angle ACB = 32°). Trójkąt (AOC): (|OA|=|OC|=r), a (\angle AOC) = (180°) (kąt półpełny, bo (AC) to średnica).

Prościej — kąt środkowy/wpisany: kąt środkowy (\angle AOB) jest podwojonym kątem wpisanym (\angle ACB): [\angle AOB = 2\cdot 32° = 64°.] Ponieważ (\angle AOC = 180°) (średnica), a kąty (\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC): [\angle BOC = 180° - 64° = 116°.]

Sposób 2 — Trójkąt (OAB)

(OA\perp k) (styczna prostopadła do promienia w punkcie styczności), więc (\angle OAB = 90° - 32° = 58°). Trójkąt (OAB) równoramienny ((|OA|=|OB|=r)), więc (\angle OBA = 58°), stąd (\angle AOB = 180°-116° = 64°). Dalej: (\angle BOC = 180° - 64° = 116°).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (148°) — odpowiada (180°-32°).
C. (154°) — pomyłka (90°+64°).
D. (122°) — błąd w twierdzeniu o kącie wpisanym.

Kluczowe twierdzenie: kąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tej cięciwie; kąt środkowy = 2·kąt wpisany.

Matura 2023 - Grudniowa