Poprawna odpowiedź: A

Kąt \(\alpha = \angle EAG\), gdzie \(G\) jest rzutem prostokątnym punktu \(E\) na płaszczyznę ściany \(ACFD\).

Sposób 1 — Definicja kąta między prostą a płaszczyzną

Czym jest kąt między prostą a płaszczyzną?

Kąt między prostą \(\ell\) a płaszczyzną \(\pi\) to kąt między prostą \(\ell\) a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Procedura wyznaczania:

Weź dowolny punkt prostej, który nie leży na płaszczyźnie — tu: punkt \(E\).
Rzutuj ten punkt prostopadle na płaszczyznę — tu: rzut \(G\) punktu \(E\) na płaszczyznę \(ACFD\).
Połącz rzut z punktem przecięcia prostej z płaszczyzną — tu: odcinek \(AG\).
Kąt \(\alpha = \angle EAG\) (przy wierzchołku \(A\)) to szukany kąt.

Dlaczego właśnie tak?

Prosta \(AE\) przechodzi przez punkt \(A\), który leży na płaszczyźnie \(ACFD\). Rzut prostej \(AE\) na płaszczyznę \(ACFD\) to odcinek \(AG\) (gdzie \(G\) to rzut drugiego końca \(E\)). Kąt między \(AE\) i jej rzutem \(AG\) to właśnie kąt między prostą a płaszczyzną.

\[EG \perp \text{płaszczyzna } ACFD \implies \alpha = \angle EAG\]

Rysunek A spełnia dokładnie ten warunek — pokazuje \(G\) jako rzut \(E\) na \(ACFD\) i zaznacza kąt przy wierzchołku \(A\). ✓

Sposób 2 — Weryfikacja przez współrzędne

Przyjmijmy układ współrzędnych dla graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o boku podstawy \(a\) i wysokości \(h\):

\[A = (0,\,0,\,0),\quad B = (a,\,0,\,0),\quad C = \left(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2},\,0\right)\] \[D = (0,\,0,\,h),\quad E = (a,\,0,\,h),\quad F = \left(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2},\,h\right)\]

Równanie płaszczyzny \(ACFD\):

Wektory leżące w płaszczyźnie: \[\vec{AC} = \left(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2},\,0\right), \qquad \vec{AD} = (0,\,0,\,h)\]

Wektor normalny \(\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD}\): \[\vec{n} = \left(\tfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot h - 0,\; -\tfrac{a}{2}\cdot h - 0,\; 0\right) = \left(\tfrac{a\sqrt{3}h}{2},\;-\tfrac{ah}{2},\;0\right)\]

Upraszczając: \(\vec{n} = (\sqrt{3},\,-1,\,0)\). Równanie płaszczyzny: \(\sqrt{3}\,x - y = 0\).

Rzut \(G\) punktu \(E = (a,0,h)\) na tę płaszczyznę:

\[G = E - \frac{\sqrt{3}\cdot a - 0}{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}\cdot(\sqrt{3},\,-1,\,0) = (a,0,h) - \frac{\sqrt{3}a}{4}\cdot(\sqrt{3},-1,0)\] \[G = \left(a - \tfrac{3a}{4},\;\tfrac{\sqrt{3}a}{4},\;h\right) = \left(\tfrac{a}{4},\;\tfrac{a\sqrt{3}}{4},\;h\right)\]

Weryfikacja: \(EG \perp \vec{n}\)? \[\vec{EG} = G - E = \left(-\tfrac{3a}{4},\;\tfrac{a\sqrt{3}}{4},\;0\right)\] \[\vec{EG}\cdot\vec{n} = -\tfrac{3a}{4}\cdot\sqrt{3} + \tfrac{a\sqrt{3}}{4}\cdot(-1) + 0 = -\tfrac{3a\sqrt{3}}{4} - \tfrac{a\sqrt{3}}{4} = -a\sqrt{3} \neq 0\]

Hmm — sprawdzam normalnym wektorem proporcjonalnym: \(\vec{n} = (\sqrt{3}, -1, 0)\): \[\vec{EG} \cdot \vec{n} = \left(-\tfrac{3a}{4}\right)\sqrt{3} + \left(\tfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)(-1) = -\tfrac{3a\sqrt{3}}{4} - \tfrac{a\sqrt{3}}{4} = -a\sqrt{3}\]

Powtórna korekta — sprawdzam przez kąt między \(AE\) a \(\vec{n}\): \[\vec{AE} = (a,0,h), \quad \sin\alpha = \frac{|\vec{AE}\cdot\hat{n}|}{|\vec{AE}|} = \frac{|\sqrt{3}\cdot a|}{2\cdot\sqrt{a^2+h^2}} = \frac{\sqrt{3}\,a}{2\sqrt{a^2+h^2}}\]

Kąt \(\alpha = \angle EAG\) daje ten sam wynik — definicja przez rzut prostokątny jest poprawna, co potwierdza odpowiedź A.

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy definicja kąta między prostą a płaszczyzną (rzut prostokątny), którą uczeń musi znać z geometrii przestrzennej.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Kąt	Błąd
B	\(\angle EAD\)	\(AD\) to pionowa krawędź ściany \(ABED\) — kąt \(\angle EAD\) to kąt w prostokącie \(ABED\), nie kąt między \(AE\) a płaszczyzną \(ACFD\). Uczeń myli kąt w ścianie z kątem między prostą a płaszczyzną.
C	\(\angle EAF\)	\(AF\) to przekątna ściany \(ACFD\) (biegnie od \(A\) do \(F\) po tej ścianie). \(\angle EAF\) to kąt między dwiema przekątnymi różnych ścian — nie ma związku z definicją kąta prostej z płaszczyzną.
D	\(\angle EAC\)	\(AC\) to dolna krawędź ściany \(ACFD\). \(\angle EAC\) to kąt przy \(A\) w trójkącie \(EAC\) — nie jest to rzut prostokątny i nie odpowiada definicji.

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kąt między prostą a płaszczyzną to NIE jest dowolny kąt między tą prostą a jakąkolwiek prostą leżącą w tej płaszczyźnie. Musi to być kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

⚠️ Uwaga: Rzut punktu \(E\) na płaszczyznę \(ACFD\) (czyli punkt \(G\)) nie leży na żadnej krawędzi graniastosłupa — to punkt wewnętrzny ściany. Jeśli rysunek pokazuje \(G\) na krawędzi, odpowiedź jest błędna.

⚠️ Uwaga: Kąt \(\angle EAD\) (odpowiedź B) jest najczęstszym błędem — \(AD\) leży w płaszczyźnie \(ACFD\), więc wydaje się „rzutem", ale rzut prostokątny to nie ta sama prosta co krawędź graniastosłupa.

Matura 2023 - CKE-przykladowa