Poprawna odpowiedź: C (FP)

Stwierdzenie 1 — Fałsz, Stwierdzenie 2 — Prawda

Sposób 1 — Odczyt z wykresu, stwierdzenie po stwierdzeniu

Stwierdzenie 1: "Dla każdego argumentu z przedziału \((-4, -2)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne."

Patrzymy na wykres wyłącznie na przedziale \((-4, -2)\).

Aby stwierdzenie było prawdziwe, wykres musiałby leżeć w całości poniżej osi \(OX\) na tym przedziale — tzn. \(f(x) < 0\) dla każdego \(x \in (-4, -2)\).

Z wykresu widać, że na przedziale \((-4, -2)\) funkcja przyjmuje też wartości nieujemne (część wykresu jest powyżej lub na osi \(OX\)). Oznacza to, że zdanie "dla każdego" jest zbyt mocne — nie jest spełnione dla wszystkich argumentów z tego przedziału.

Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE. ✗

Stwierdzenie 2: "Funkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe."

Miejsca zerowe to punkty, w których wykres przecina lub dotyka osi \(OX\) — czyli \(f(x) = 0\).

Liczymy przecięcia wykresu z osią \(OX\):

Pierwsze miejsce zerowe: gdzieś w okolicach \(x = -4\) (lub lewej części wykresu)
Drugie miejsce zerowe: gdzieś w okolicach \(x = -2\) (środkowa część)
Trzecie miejsce zerowe: gdzieś w okolicach \(x = 2\) (prawa część)

Wykres przecina oś \(OX\) dokładnie trzy razy.

Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE. ✓

Podsumowanie: Stwierdzenie 1 — F, Stwierdzenie 2 — P → odpowiedź C (FP)

Sposób 2 — Weryfikacja przez zaprzeczenie

Zamiast sprawdzać stwierdzenia wprost, szukamy kontrprzykładu dla Stwierdzenia 1.

Aby obalić zdanie "dla każdego \(x \in (-4,-2)\) zachodzi \(f(x) < 0\)", wystarczy znaleźć jeden punkt \(x_0 \in (-4,-2)\), dla którego \(f(x_0) \geq 0\).

Z wykresu: w przedziale \((-4,-2)\) funkcja ma miejsce zerowe (jest na osi \(OX\)), a w pewnym podprzedziale wykres wychodzi powyżej osi \(OX\) — tzn. \(f(x) > 0\).

To wystarczy, by obalić Stwierdzenie 1. Jest ono fałszywe.

Dla Stwierdzenia 2 — przeliczamy, ile razy wykres przecina oś \(OX\). Każde takie przecięcie to jedno miejsce zerowe. Wykres przecina oś dokładnie 3 razy → Stwierdzenie 2 prawdziwe.

Wynik: C (FP) ✓

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy definicja miejsca zerowego i odczyt z wykresu.

Definicja (podstawy, poza kartą): Miejsce zerowe funkcji \(f\) to taki argument \(x_0\), że \(f(x_0) = 0\), czyli punkt, w którym wykres przecina oś \(OX\).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Co zakłada uczeń	Błąd
A (PP)	Oba stwierdzenia są prawdziwe	Nie zauważył, że na \((-4,-2)\) wykres wychodzi powyżej osi \(OX\) — Stwierdzenie 1 jest fałszywe
B (PF)	S1 prawdziwe, S2 fałszywe	Podwójny błąd: źle odczytał zarówno znak funkcji na \((-4,-2)\), jak i liczbę zer
D (FF)	Oba fałszywe	Dobrze zakwestionował S1, ale błędnie policzył miejsca zerowe (np. policzył tylko 2)

Typowe pułapki i uwagi

⚠️ Uwaga: Kwantyfikator "dla każdego" to pułapka! Stwierdzenie z "dla każdego" obalamy jednym kontrprzykładem — nie trzeba sprawdzać całego przedziału, wystarczy znaleźć jeden punkt, gdzie warunek nie jest spełniony.

⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe to tylko punkt na osi \(OX\). Nie mylić z ekstremami ani z punktami, gdzie wykres "blisko" osi — musi być dokładne przecięcie lub dotknięcie.

⚠️ Uwaga: Przy liczeniu miejsc zerowych uważaj na przypadek, gdy wykres dotyka osi \(OX\), ale jej nie przecina (np. wierzchołek paraboli na osi) — to też jest miejsce zerowe, ale jedno, nie dwa!

Matura 2022 - Wrzesniowa