Poprawna odpowiedź: C

Sposób 1 — Pole sześciokąta foremnego

Sześciokąt foremny o boku (a) ma pole (P = \tfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}). Stąd (6\sqrt{3} = \tfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}), więc (a^2 = 4), (a = 2). Trójkąt (ABE): (A, B) sąsiednie wierzchołki ((|AB|=a=2)). (E) jest trzecim wierzchołkiem — trzeba policzyć jego wysokość do (AB). Sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych. Pole każdego: (\tfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}). Wysokość sześciokąta = (2\cdot h_\triangle = 2\cdot \tfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}). Trójkąt (ABE): podstawa (|AB|=2), wysokość z (E) do (AB) = wysokość sześciokąta = (2\sqrt{3}). Pole: (P_{\triangle ABE} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}).

Sposób 2 — Podział sześciokąta

Sześciokąt dzielimy na 6 trójkątów równobocznych o polu (\sqrt{3}) każdy. Trójkąt (ABE) składa się z 2 takich trójkątów: pole (2\sqrt{3}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (6) — błędne obliczenie wysokości.
B. (4\sqrt{3}) — pole 4 trójkątów, nie 2.
D. (4) — pomyłka bez pierwiastka.

Trik: sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych, podział daje proste pola.

Matura 2022 - Grudniowa