Poprawna odpowiedź: B

Sposób 1 — Jedynka trygonometryczna

(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1). Obliczmy: [\sin^2\alpha = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \dfrac{4\cdot 5}{25} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}.] [\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}.] Kąt (\alpha) ostry → (\cos\alpha > 0): [\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.]

Sposób 2 — Geometryczne podejście

W trójkącie prostokątnym z kątem (\alpha): (\sin\alpha = \tfrac{2\sqrt{5}}{5} = \tfrac{2}{\sqrt{5}}). Przyjmijmy przeciwprostokątną (\sqrt{5}), przyprostokątną naprzeciw (\alpha) równą (2). Druga przyprostokątna: (\sqrt{5-4} = 1). (\cos\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{5}} = \tfrac{\sqrt{5}}{5}).

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

A. (\tfrac{5}{2\sqrt{5}} = \tfrac{\sqrt{5}}{2}) — to odwrotność (\sin\alpha), nie cosinus.
C. (\tfrac{1}{5}) — to (\cos^2\alpha), nie (\cos\alpha).
D. (\tfrac{4}{5}) — to (\sin^2\alpha).

Klucz: zawsze podnieś do kwadratu, odejmij od (1), wyciągnij pierwiastek.

Matura 2020 - Wrzesniowa