Poprawna odpowiedź: A — \(\{0, 1, 2, 3\}\)

Sposób 1 — Sprawdzenie kolejnych liczb naturalnych

Reszta z dzielenia przez \(4\) to zawsze jedna z liczb \(0, 1, 2, 3\) — nie może być inna, bo jeśli reszta wynosiłaby \(4\), to po prostu dzielilibyśmy dalej.

Sprawdzamy kolejne liczby naturalne \(n \geq 1\):

\(n\)	\(n \div 4\)	reszta \(f(n)\)
\(1\)	\(0\) razy \(4\), zostaje \(1\)	\(1\)
\(2\)	\(0\) razy \(4\), zostaje \(2\)	\(2\)
\(3\)	\(0\) razy \(4\), zostaje \(3\)	\(3\)
\(4\)	\(1\) raz \(4\), zostaje \(0\)	\(0\)
\(5\)	\(1\) raz \(4\), zostaje \(1\)	\(1\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)

Po czterech kolejnych liczbach naturalnych wzorzec się powtarza. Każda reszta \(0, 1, 2, 3\) pojawia się dokładnie raz w cyklu \(n = 4, 1, 2, 3\).

Zatem zbiór wartości funkcji \(f\) to \(\{0, 1, 2, 3\}\).

Sposób 2 — Definicja algorytmu dzielenia z resztą

Dla dowolnych liczb całkowitych \(a\) i \(b > 0\) istnieją jednoznaczne liczby całkowite \(q\) i \(r\) takie, że: \[a = q \cdot b + r, \quad \text{gdzie } 0 \leq r < b\]

W naszym przypadku \(b = 4\), więc reszta \(r\) spełnia: \[0 \leq r < 4\]

co oznacza, że \(r \in \{0, 1, 2, 3\}\).

Każda z tych reszt faktycznie wystąpi dla pewnego \(n \geq 1\):

\(r = 1\): weź \(n = 1\), bo \(1 = 0 \cdot 4 + 1\)
\(r = 2\): weź \(n = 2\), bo \(2 = 0 \cdot 4 + 2\)
\(r = 3\): weź \(n = 3\), bo \(3 = 0 \cdot 4 + 3\)
\(r = 0\): weź \(n = 4\), bo \(4 = 1 \cdot 4 + 0\)

Zbiór wartości to dokładnie \(\{0, 1, 2, 3\}\).

Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE — wystarczy definicja reszty z dzielenia i wyliczenie kilku przypadków.

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

Odp.	Błąd
B — \(\{1, 2, 3, 4\}\)	Uczeń myśli, że reszta zaczyna się od \(1\) (bo dziedzina zaczyna się od \(n=1\)), i dolicza \(4\) zamiast \(0\). Tymczasem reszta z dzielenia \(4\) przez \(4\) wynosi \(0\), nie \(4\).
C — \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)	Uczeń poprawnie zauważa, że reszta \(0\) jest możliwa, ale błędnie sądzi, że \(4\) też może być resztą. Reszta z dzielenia przez \(4\) nigdy nie wynosi \(4\) — to sprzeczność z definicją.
D — \(\{0, 2\}\)	Uczeń myli reszty z dzielenia przez \(4\) z parami/nieparzystymi, lub po prostu odgaduje bez sprawdzenia.

Typowe pułapki i uwaga

⚠️ Uwaga: Reszta z dzielenia \(n\) przez \(4\) zawsze spełnia \(0 \leq r \leq 3\). Reszta nigdy nie jest równa dzielnikowi — gdyby wynosiła \(4\), oznaczałoby to, że \(4\) wchodzi jeszcze raz do ilorazu.

⚠️ Uwaga: Dziedzina to \(n \geq 1\), ale reszta \(0\) i tak jest osiągana — dla \(n = 4\). Nie myl dziedziny z zakresem wartości!

⚠️ Uwaga: Zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wyników funkcji, a nie zbiór argumentów. Tu pytamy: co może wyjść? Odpowiedź: \(0, 1, 2\) lub \(3\) — i każda z tych wartości faktycznie się pojawia.

Matura 2020 - Lipcowa